Calcule
c) , sendo a fronteira do retângulo orientada no sentido anti-horário .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha. A questão pede para calcular , onde é a fronteira de um retângulo definido por e a orientação é no sentido anti-horário. O campo vetorial dado é . Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por de . Ou seja:
Passo 3
Identificando e no nosso caso:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Isso simplifica nossa integral dupla para:
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da região . O retângulo tem largura de e altura de . Então, a área é: