Calcule
c) integralgamma v cdot d r, sendo gamma a fronteira do retângulo [1,2] times[-1,1] orientada no sentido anti-horário e v(x, y)=2 arctan yx i+[ln (x^2+y^2)+2 x] j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha. A questão pede para calcular , onde é a fronteira de um retângulo definido por e a orientação é no sentido anti-horário. O campo vetorial dado é . Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial ointgamma v cdot d r = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por de . Ou seja:

Passo 3

Identificando P(x, y) = 2 arctan(yx) e Q(x, y) = ln(x^2+y^2) + 2x no nosso caso:
partial Qpartial x = 2xx^2+y^2 + 2
partial Ppartial y = 21 + (yx)^2 cdot 1x = 2xx^2+y^2
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = ( 2xx^2+y^2 + 2 ) - 2xx^2+y^2 = 2
Isso simplifica nossa integral dupla para:
integral duplaD 2 , dA = 2 integral duplaD dA = 2 times Área de D Á

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da região Área de D = 1 times 2 = 2 . O retângulo tem largura de e altura de . Então, a área é:
Á

Passo 6

Multiplicando pela constante que encontramos:
2 times 2 = 4

Resposta

A integral vale 4.

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