Calcule
c) , sendo a fronteira do retângulo orientada no sentido anti-horário .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha. A questão pede para calcular , onde é a fronteira de um retângulo definido por e a orientação é no sentido anti-horário. O campo vetorial dado é . Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por de . Ou seja:

Passo 3

Identificando e no nosso caso:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Isso simplifica nossa integral dupla para:
Á

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da região . O retângulo tem largura de e altura de . Então, a área é:
Á

Passo 6

Multiplicando pela constante que encontramos:

Resposta

A integral vale 4.

Exercícios relacionados

Calcular a integral , percorrendo no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
b) é o quadrado de vértices e ;
Use o Teorema de Stokes para calcular , onde
e é o quadrado de vértices e , orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
Calcule
b) , sendo a circunferência , percorrida no sentido anti-horário.
Calcular a integral , percorrendo no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
c) é dada por .