Calcule
c)
, sendo
a fronteira do retângulo
orientada no sentido anti-horário
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha. A questão pede para calcular
, onde
é a fronteira de um retângulo definido por
e a orientação é no sentido anti-horário. O campo vetorial dado é
. Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
de
. Ou seja:
Passo 3
Identificando
e
no nosso caso:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Isso simplifica nossa integral dupla para:
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da região
. O retângulo
tem largura de
e altura de
. Então, a área é:
Passo 6
Multiplicando pela constante que encontramos:
Resposta
A integral
vale 4.