Seja .
Seja a curva obtida como interseção da superfície com o plano . Calcule , especificando a orientação escolhida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve cálculo vetorial, especificamente o cálculo de uma integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva. Precisamos determinar a curva de interseção entre uma superfície quadriculada e um plano, e calcular a integral dessa curva. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a definição de integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva que é a interseção da superfície , onde , com o plano . Substituindo na equação da superfície, temos:
Como , isso nos restringe a , ou seja, , o que implica .
Passo 3
Com isso, podemos parametrizar a curva em termos de . Vamos definir , então:
Então, o vetor posição que descreve a curva é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha . Primeiro, precisamos encontrar e :
Substituindo , , :
Simplificando:
Calculando :
Agora, o produto escalar :
Passo 5
Finalmente, integramos essa expressão de a :
Observando que a função ímpar integrada de a cancela, restando:
Resposta
A integral de linha ao longo da curva é igual a 12.