Seja .
Seja a curva obtida como interseção da superfície com o plano . Calcule , especificando a orientação escolhida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve cálculo vetorial, especificamente o cálculo de uma integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva. Precisamos determinar a curva de interseção entre uma superfície quadriculada e um plano, e calcular a integral dessa curva. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a definição de integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva que é a interseção da superfície , onde , com o plano . Substituindo na equação da superfície, temos:
Como , isso nos restringe a , ou seja, , o que implica .

Passo 3

Com isso, podemos parametrizar a curva em termos de . Vamos definir , então:
Então, o vetor posição que descreve a curva é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha . Primeiro, precisamos encontrar e :
Substituindo , , :
Simplificando:
Calculando :
Agora, o produto escalar :

Passo 5

Finalmente, integramos essa expressão de a :
Observando que a função ímpar integrada de a cancela, restando:

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a 12.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Stokes para calcular , onde
e é a interseção do cilindro com o plano , sendo , orientada no sentido anti-horário quando vista da parte superior do eixo .
Verifique o Teorema de Stokes, calculando a integral de linha e a integral de superfície para o campo e a superfície , tal que
é a parte do paraboloide interior ao cilindro , sendo tal que .
Use o Teorema de Stokes para calcular , onde
e é o quadrado de vértices e , orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
Calcular a integral , percorrendo no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
b) é o quadrado de vértices e ;