Seja F(x, y, z)=(3 x^2 z+y^3, 3 x y^2+e^z, x^3+y e^z).
Seja C a curva obtida como interseção da superfície z=x^2+y^2-4, z <= 1 com o plano y=-1. Calcule integral F d r, especificando a orientação escolhida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve cálculo vetorial, especificamente o cálculo de uma integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva. Precisamos determinar a curva de interseção entre uma superfície quadriculada e um plano, e calcular a integral dessa curva. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a definição de integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva z = x^2 + (-1)^2 - 4 implies z = x^2 + 1 - 4 implies z = x^2 - 3 que é a interseção da superfície , onde , com o plano . Substituindo na equação da superfície, temos:
Como , isso nos restringe a , ou seja, , o que implica .

Passo 3

Com isso, podemos parametrizar a curva y = -1 em termos de z = t^2 - 3 . Vamos definir r(t) = lang<= t, -1, t^2 - 3 rang<=, t in [-2, 2] , então:
Então, o vetor posição que descreve a curva é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha F(x, y, z) = lang<= 3x^2z + y^3, 3xy^2 + e^z, x^3 + y e^z rang<= . Primeiro, precisamos encontrar F(t) = lang<= 3t^2(t^2 - 3) + (-1)^3, 3t(-1)^2 + e^t^2 - 3, t^3 + (-1)e^t^2 - 3 rang<= e F(t) = lang<= 3t^4 - 9t^2 - 1, 3t + e^t^2 - 3, t^3 - e^t^2 - 3 rang<= :
drdt = lang<= 1, 0, 2t rang<=
Substituindo (3t^4 - 9t^2 - 1)(1) + (3t + e^t^2 - 3)(0) + (t^3 - e^t^2 - 3)(2t) = 3t^4 - 9t^2 - 1 + 0 + 2t^4 - 2t e^t^2 - 3 , = 5t^4 - 9t^2 - 1 - 2t e^t^2 - 3 , :
Simplificando:
Calculando :
Agora, o produto escalar :

Passo 5

Finalmente, integramos essa expressão de integral-2^2 (5t^4 - 9t^2 - 1 - 2t e^t^2 - 3) dt a integral-2^2 (5t^4 - 9t^2 - 1) dt = 2 integral0^2 (5t^4 - 9t^2 - 1) dt :
= 2 [ t^5 - 3t^3 - t ]0^2 = 2 [32 - 24 - 2] = 2 times 6 = 12
Observando que a função ímpar integrada de a cancela, restando:

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a 12.

Exercícios relacionados