Seja .
Seja a curva obtida como interseção da superfície com o plano . Calcule , especificando a orientação escolhida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve cálculo vetorial, especificamente o cálculo de uma integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva. Precisamos determinar a curva de interseção entre uma superfície quadriculada e um plano, e calcular a integral dessa curva. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a definição de integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva z = x^2 + (-1)^2 - 4 implies z = x^2 + 1 - 4 implies z = x^2 - 3 que é a interseção da superfície , onde , com o plano . Substituindo na equação da superfície, temos:
Como , isso nos restringe a , ou seja, , o que implica .
Passo 3
Com isso, podemos parametrizar a curva y = -1 em termos de z = t^2 - 3 . Vamos definir r(t) = lang<= t, -1, t^2 - 3 rang<=, t in [-2, 2] , então:
Então, o vetor posição que descreve a curva é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha F(x, y, z) = lang<= 3x^2z + y^3, 3xy^2 + e^z, x^3 + y e^z rang<= . Primeiro, precisamos encontrar F(t) = lang<= 3t^2(t^2 - 3) + (-1)^3, 3t(-1)^2 + e^t^2 - 3, t^3 + (-1)e^t^2 - 3 rang<= e F(t) = lang<= 3t^4 - 9t^2 - 1, 3t + e^t^2 - 3, t^3 - e^t^2 - 3 rang<= :