Use o Teorema de Stokes para calcular , onde
e é o quadrado de vértices e , orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha sobre uma curva com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como fronteira. Aqui, a função vetorial dada é e a curva é um quadrado no plano com vértices em , , e . A gente vai precisar calcular o rotacional de e depois integrar isso sobre a superfície limitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral de linha de ao longo de é igual à integral de superfície do rotacional de sobre , onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , que é .
Para uma função vetorial , o rotacional é dado por:
Aplicando isso à nossa :
  • , então
  • , então e
  • , então e
Então:

Passo 4

Agora, vamos identificar a superfície limitada pela curva . Como é um quadrado no plano , será justamente esse quadrado no plano .

Passo 5

Precisamos encontrar o vetor normal à superfície . Como está no plano , o vetor normal será na direção ou . A orientação da curva é anti-horária quando vista de cima, o que significa que o vetor normal deve apontar para cima, ou seja, .

Passo 6

Vamos agora montar a integral de superfície:
Note que na superfície , então , mas como estamos apenas interessados na componente , fica apenas .

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Como é o quadrado com variando de 0 a 1 e variando de 0 a 1, a integral fica:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Seja .
Seja a curva obtida como interseção da superfície com o plano . Calcule , especificando a orientação escolhida.
Use o Teorema de Stokes para calcular , onde
e é a interseção do cilindro com o plano , sendo , orientada no sentido anti-horário quando vista da parte superior do eixo .
Calcular a integral , percorrendo no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
b) é o quadrado de vértices e ;
Calcule
c) , sendo a fronteira do retângulo orientada no sentido anti-horário .