e é o quadrado de vértices e , orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha sobre uma curva com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como fronteira. Aqui, a função vetorial dada é e a curva é um quadrado no plano com vértices em , , e . A gente vai precisar calcular o rotacional de e depois integrar isso sobre a superfície limitada por .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral de linha de ao longo de é igual à integral de superfície do rotacional de sobre , onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de , que é .
Para uma função vetorial , o rotacional é dado por:
Aplicando isso à nossa :
, então
, então e
, então e
Então:
Passo 4
Agora, vamos identificar a superfície limitada pela curva . Como é um quadrado no plano , será justamente esse quadrado no plano .
Passo 5
Precisamos encontrar o vetor normal à superfície . Como está no plano , o vetor normal será na direção ou . A orientação da curva é anti-horária quando vista de cima, o que significa que o vetor normal deve apontar para cima, ou seja, .
Passo 6
Vamos agora montar a integral de superfície:
Note que na superfície , então , mas como estamos apenas interessados na componente , fica apenas .
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Como é o quadrado com variando de 0 a 1 e variando de 0 a 1, a integral fica: