Calcular a integral , percorrendo no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
c) é dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha na forma . A curva que a gente vai percorrer é dada por , onde varia de a . O conteúdo que vamos usar aqui é a Integral de Linha e o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. A gente precisa decidir se é mais fácil calcular essa integral diretamente ou usar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral de linha que temos. Ela é definida como:
Isso significa que, ao longo da curva , a gente está somando os valores de multiplicados por mais multiplicados por .

Passo 3

Agora, vamos ver o que é o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva . A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, e . Vamos calcular :
Então,

Passo 4

Agora, precisamos decidir se é conveniente usar o Teorema de Green para calcular nossa integral. Olhando para a curva , percebemos que ela é uma curva fechada (já que vai de a ) e que descreve uma figura chamada astroida. Aplicar o Teorema de Green facilita o cálculo porque transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região encerrada pela astroida, que pode ser mais fácil de integrar.

Passo 5

Vamos então aplicar o Teorema de Green. A integral de linha fica:
Para calcular essa integral dupla, precisamos determinar os limites da região . A astroida é simétrica nos eixos, então podemos integrar em coordenadas polares ou utilizar uma mudança de variável apropriada. No entanto, para simplificar, vamos usar simetria e propriedades da astroida para calcular a integral.

Passo 6

Considerando a simetria da astroida, podemos calcular a integral sobre um quarto da região e depois multiplicar por 4. Vamos definir uma mudança de variável para facilitar:
A integral fica:
Onde é um quarto da região.

Passo 7

Integrando, temos:
A primeira parte representa a área da região . A segunda parte é duas vezes a integral de sobre a região, que, devido à simetria, será zero (pois para cada ponto com positivo há um ponto com negativo que se cancelam).

Passo 8

Então, a integral simplifica para a área da região . A área de uma astroida dada por é conhecida e pode ser calculada por métodos específicos ou tabelas de integrais:
Á

Resposta

A integral ao longo da curva é igual a .

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Calcule
b) , sendo a circunferência , percorrida no sentido anti-horário.
Calcule
c) , sendo a fronteira do retângulo orientada no sentido anti-horário .
Calcule a área das regiões :
a)
Calcule , onde
para
a) cuja imagem é a circunferência