Calcular a integral
, percorrendo
no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
c)
é dada por
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha na forma
. A curva
que a gente vai percorrer é dada por
, onde
varia de
a
. O conteúdo que vamos usar aqui é a Integral de Linha e o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. A gente precisa decidir se é mais fácil calcular essa integral diretamente ou usar o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a integral de linha que temos. Ela é definida como:
Isso significa que, ao longo da curva
, a gente está somando os valores de
multiplicados por
mais
multiplicados por
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região
delimitada pela curva
. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular
:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos decidir se é conveniente usar o Teorema de Green para calcular nossa integral. Olhando para a curva
, percebemos que ela é uma curva fechada (já que
vai de
a
) e que descreve uma figura chamada astroida. Aplicar o Teorema de Green facilita o cálculo porque transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região
encerrada pela astroida, que pode ser mais fácil de integrar.
Passo 5
Vamos então aplicar o Teorema de Green. A integral de linha fica:
Para calcular essa integral dupla, precisamos determinar os limites da região
. A astroida é simétrica nos eixos, então podemos integrar em coordenadas polares ou utilizar uma mudança de variável apropriada. No entanto, para simplificar, vamos usar simetria e propriedades da astroida para calcular a integral.
Passo 6
Considerando a simetria da astroida, podemos calcular a integral sobre um quarto da região
e depois multiplicar por 4. Vamos definir uma mudança de variável para facilitar:
A integral fica:
Onde
é um quarto da região.
Passo 7
Integrando, temos:
A primeira parte
representa a área da região
. A segunda parte é duas vezes a integral de
sobre a região, que, devido à simetria, será zero (pois para cada ponto com
positivo há um ponto com
negativo que se cancelam).
Passo 8
Então, a integral simplifica para a área da região
. A área de uma astroida dada por
é conhecida e pode ser calculada por métodos específicos ou tabelas de integrais:
Resposta
A integral
ao longo da curva
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
b) , sendo
a circunferência
, percorrida no sentido anti-horário.
b)
Calcule
c) , sendo
a fronteira do retângulo
orientada no sentido anti-horário
.
c)
Calcule a área das regiões
:
a)
a)
Calcule
, onde
para
a) cuja imagem é a circunferência
a)