Calcular a integral integralgamma y^2 d x+x d y, percorrendo gamma no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
c) gamma é dada por (2 cos ^3 t, 2 sin ^3 t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha na forma integralgamma y^2 dx + x dy. A curva gamma que a gente vai percorrer é dada por (2 cos^3 t, 2 sin^3 t), onde t varia de 0 a 2pi. O conteúdo que vamos usar aqui é a Integral de Linha e o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. A gente precisa decidir se é mais fácil calcular essa integral diretamente ou usar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral de linha que temos. Ela é definida como:
integralgamma y^2 , dx + x , dy
Isso significa que, ao longo da curva gamma, a gente está somando os valores de y^2 multiplicados por dx mais x multiplicados por dy.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região D delimitada pela curva gamma. A fórmula do Teorema de Green é:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
No nosso caso, P = y^2 e Q = x. Vamos calcular partial Qpartial x - partial Ppartial y:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial y^2partial y = 2y
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - 2y

Passo 4

Agora, precisamos decidir se é conveniente usar o Teorema de Green para calcular nossa integral. Olhando para a curva gamma = (2 cos^3 t, 2 sin^3 t), percebemos que ela é uma curva fechada (já que t vai de 0 a 2pi) e que descreve uma figura chamada astroida. Aplicar o Teorema de Green facilita o cálculo porque transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região D encerrada pela astroida, que pode ser mais fácil de integrar.

Passo 5

Vamos então aplicar o Teorema de Green. A integral de linha fica:
ointgamma y^2 , dx + x , dy = integral duplaD (1 - 2y) , dA
Para calcular essa integral dupla, precisamos determinar os limites da região D. A astroida é simétrica nos eixos, então podemos integrar em coordenadas polares ou utilizar uma mudança de variável apropriada. No entanto, para simplificar, vamos usar simetria e propriedades da astroida para calcular a integral.

Passo 6

Considerando a simetria da astroida, podemos calcular a integral sobre um quarto da região D e depois multiplicar por 4. Vamos definir uma mudança de variável para facilitar:
x = 2 cos^3 t
y = 2 sin^3 t
A integral fica:
integral duplaD (1 - 2y) , dA = 4 times integral duplaD1 (1 - 2y) , dA
Onde D1 é um quarto da região.

Passo 7

Integrando, temos:
integral duplaD 1 , dA - 2 integral duplaD y , dA
A primeira parte integral duplaD 1 , dA representa a área da região D. A segunda parte é duas vezes a integral de y sobre a região, que, devido à simetria, será zero (pois para cada ponto com y positivo há um ponto com y negativo que se cancelam).

Passo 8

Então, a integral simplifica para a área da região D. A área de uma astroida dada por (2 cos^3 t, 2 sin^3 t) é conhecida e pode ser calculada por métodos específicos ou tabelas de integrais:
Área = 38 times (amplitude)^2 = 38 times (2)^2 = 32 Á

Resposta

A integral integralgamma y^2 , dx + x , dy ao longo da curva gamma é igual a 32.

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