Calcule a área das regiões
:
a)
a)
Passo 1
Então, galera! A gente tem que calcular a área da região
definida por
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que a equação
é simétrica em relação aos eixos
e
. Isso significa que a área em qualquer um dos quatro quadrantes é igual. Então, podemos calcular a área no primeiro quadrante e depois multiplicar por 4 para obter a área total.
Passo 3
No primeiro quadrante, onde
e
, podemos resolver a inequação para
em função de
:
Elevando ambos os lados ao
para isolar
:
Essa expressão nos dá o limite superior de
em função de
no primeiro quadrante.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral para calcular a área no primeiro quadrante. A área
é dada por:
Aqui, integramos
de 0 até
em relação a
de 0 a
.
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então:
Como
, temos
. Substituindo na expressão de
:
Agora, a integral fica em termos de
:
Passo 6
Vamos simplificar e resolver a integral:
Essa é uma integral do tipo Beta, que pode ser resolvida usando a função Beta ou a relação com a função Gamma. Sabemos que:
Aplicando isso aqui, com
e
:
Calculando os valores das funções Gamma:
Substituindo:
Passo 7
Lembrando que essa é a área no primeiro quadrante. Como a figura é simétrica nos quatro quadrantes, a área total
é:
Resposta
A área das regiões
é
.
Exercícios relacionados
Calcular a integral
, percorrendo
no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
c) é dada por
.
c)
Calcule
b) , sendo
a circunferência
, percorrida no sentido anti-horário.
b)
Calcule
, onde
para
a) cuja imagem é a circunferência
a)
Calcular a integral
, percorrendo
no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
a) é o círculo de raio 2 centrado na origem;
a)