Calcule a área das regiões :
a)

Passo 1

Então, galera! A gente tem que calcular a área da região definida por . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a equação é simétrica em relação aos eixos e . Isso significa que a área em qualquer um dos quatro quadrantes é igual. Então, podemos calcular a área no primeiro quadrante e depois multiplicar por 4 para obter a área total.

Passo 3

No primeiro quadrante, onde e , podemos resolver a inequação para em função de :
Elevando ambos os lados ao para isolar :
Essa expressão nos dá o limite superior de em função de no primeiro quadrante.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para calcular a área no primeiro quadrante. A área é dada por:
Aqui, integramos de 0 até em relação a de 0 a .

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então:
Como , temos . Substituindo na expressão de :
Agora, a integral fica em termos de :

Passo 6

Vamos simplificar e resolver a integral:
Essa é uma integral do tipo Beta, que pode ser resolvida usando a função Beta ou a relação com a função Gamma. Sabemos que:
Aplicando isso aqui, com e :
Calculando os valores das funções Gamma:
Substituindo:

Passo 7

Lembrando que essa é a área no primeiro quadrante. Como a figura é simétrica nos quatro quadrantes, a área total é:

Resposta

A área das regiões é .

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Calcular a integral , percorrendo no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
c) é dada por .
Calcule
b) , sendo a circunferência , percorrida no sentido anti-horário.
Calcule , onde
para
a) cuja imagem é a circunferência
Calcular a integral , percorrendo no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
a) é o círculo de raio 2 centrado na origem;