Calcule integralgamma P d x+Q d y, onde
P(x, y)=-y[1(x-1)^2+y^2+1x^2+y^2+1(x+1)^2+y^2] Q(x, y)=x-1(x-1)^2+y^2+xx^2+y^2+x+1(x+1)^2+y^2
para
a) gamma cuja imagem é a circunferência (x-2)^2+y^2=14

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de integrais de linha, especificamente da integral ∫𝐏 dx + 𝐐 dy ao longo de uma curva γ. As funções P(x, y) e Q(x, y) estão bem detalhadas, e a curva γ é uma circunferência com equação (x - 2)² + y² = 1/4. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green: ele diz que a integral de linha ∫𝐏 dx + 𝐐 dy ao redor de uma curva fechada γ é igual à integral dupla sobre a região D delimitada por γ de (∂𝐐/∂x - ∂𝐏/∂y) dx dy. Ou seja,
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Isso vai facilitar bastante a nossa vida, porque em vez de calcular a integral de linha diretamente, vamos transformar isso em uma integral dupla.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, calculamos ∂���/∂x:
Q(x, y) = x-1(x-1)^2 + y^2 + xx^2 + y^2 + x+1(x+1)^2 + y^2
Calculando ∂Q/∂x para cada termo:
  • Para a primeira fração:
partialpartial x ( x-1(x-1)^2 + y^2 ) = (1)((x-1)^2 + y^2) - (x-1)(2(x-1))[(x-1)^2 + y^2]^2
Simplificando:
(x-1)^2 + y^2 - 2(x-1)^2[(x-1)^2 + y^2]^2 = - (x-1)^2 + y^2[(x-1)^2 + y^2]^2
  • Repetimos o processo para as outras frações e somamos todos os resultados.

Passo 4

Agora, calculamos ∂𝐏/∂y:
P(x, y) = -y[1(x-1)^2 + y^2 + 1x^2 + y^2 + 1(x+1)^2 + y^2]
Aplicando a derivada em relação a y:
partial Ppartial y = -[1(x-1)^2 + y^2 + 1x^2 + y^2 + 1(x+1)^2 + y^2] - y [ -2y((x-1)^2 + y^2)^2 + -2y(x^2 + y^2)^2 + -2y((x+1)^2 + y^2)^2 ]
Simplificando:
partial Ppartial y = -[1(x-1)^2 + y^2 + 1x^2 + y^2 + 1(x+1)^2 + y^2] + 2y^2 [ 1((x-1)^2 + y^2)^2 + 1(x^2 + y^2)^2 + 1((x+1)^2 + y^2)^2 ]

Passo 5

Agora que temos ∂𝐐/∂x e ∂𝐏/∂y, vamos calcular a diferença entre elas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = ( Derivada de Q ) - ( Derivada de P )
Após simplificar, percebemos que muitos termos se cancelam, e o resultado final da diferença é zero:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0

Passo 6

Com a diferença sendo zero, a integral dupla sobre a região D também será zero:
integral duplaD 0 , dx , dy = 0
Portanto, pelo Teorema de Green, a integral de linha original também é zero.

Resposta

A integral integralgamma P , dx + Q , dy é igual a 0.

Exercícios relacionados