Calcule
, onde
para
a)
cuja imagem é a circunferência
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de integrais de linha, especificamente da integral ∫𝐏 dx + 𝐐 dy ao longo de uma curva γ. As funções P(x, y) e Q(x, y) estão bem detalhadas, e a curva γ é uma circunferência com equação (x - 2)² + y² = 1/4. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como aplicar o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green: ele diz que a integral de linha ∫𝐏 dx + 𝐐 dy ao redor de uma curva fechada γ é igual à integral dupla sobre a região D delimitada por γ de (∂𝐐/∂x - ∂𝐏/∂y) dx dy. Ou seja,
Isso vai facilitar bastante a nossa vida, porque em vez de calcular a integral de linha diretamente, vamos transformar isso em uma integral dupla.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, calculamos ∂���/∂x:
Calculando ∂Q/∂x para cada termo:
- Para a primeira fração:
Simplificando:
- Repetimos o processo para as outras frações e somamos todos os resultados.
Passo 4
Agora, calculamos ∂𝐏/∂y:
Aplicando a derivada em relação a y:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos ∂𝐐/∂x e ∂𝐏/∂y, vamos calcular a diferença entre elas:
Após simplificar, percebemos que muitos termos se cancelam, e o resultado final da diferença é zero:
Passo 6
Com a diferença sendo zero, a integral dupla sobre a região D também será zero:
Portanto, pelo Teorema de Green, a integral de linha original também é zero.
Resposta
A integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule a área das regiões
:
a)
a)
Calcular a integral
, percorrendo
no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
c) é dada por
.
c)
Calcular a integral
, percorrendo
no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
a) é o círculo de raio 2 centrado na origem;
a)
Calcule a área das regiões
:
b) é a região delimitada pela curva
, com
, onde
são as coordenadas polares no plano.
b)