Calcular a integral
, percorrendo
no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
a)
é o círculo de raio 2 centrado na origem;
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha, que é basicamente somar certos valores ao longo de um caminho específico. No caso, a integral é
, e o caminho
é um círculo de raio 2, centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário. A gente vai calcular essa integral e decidir se vale a pena usar o Teorema de Green para facilitar a vida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele é uma ferramenta muito útil em cálculo vetorial que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Isso pode simplificar bastante os cálculos, especialmente quando a região é mais fácil de trabalhar do que a própria curva.
No nosso caso, como
é um círculo simples e fechado, o Teorema de Green pode ser uma opção conveniente. Então, vamos verificar se podemos aplicar esse teorema aqui.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Green, precisamos identificar as funções
e
da nossa integral de linha. No nosso caso:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região dentro da curva
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
, que é o círculo de raio 2 centrado na origem. Para facilitar, é melhor usar coordenadas polares, já que a região é circular.
Em coordenadas polares:
Os limites para
vão de 0 a 2, e para
de 0 a
.
Passo 6
Vamos reescrever a integral:
Agora, vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 7
Agora, integramos em
:
O termo com
desaparece porque a integral de
de 0 a
é zero.
Resposta
A integral
vale
, e usar o Teorema de Green foi uma boa escolha para simplificar os cálculos!