Calcular a integral integralgamma y^2 d x+x d y, percorrendo gamma no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
a) gamma é o círculo de raio 2 centrado na origem;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha, que é basicamente somar certos valores ao longo de um caminho específico. No caso, a integral é , e o caminho é um círculo de raio 2, centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário. A gente vai calcular essa integral e decidir se vale a pena usar o Teorema de Green para facilitar a vida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele é uma ferramenta muito útil em cálculo vetorial que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Isso pode simplificar bastante os cálculos, especialmente quando a região é mais fácil de trabalhar do que a própria curva.
No nosso caso, como é um círculo simples e fechado, o Teorema de Green pode ser uma opção conveniente. Então, vamos verificar se podemos aplicar esse teorema aqui.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Green, precisamos identificar as funções P(x, y) = y^2 e Q(x, y) = x da nossa integral de linha. No nosso caso:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região dentro da curva .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial y^2partial y = 2y
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD (1 - 2y) , dx , dy

Passo 5

Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região x = r costheta , que é o círculo de raio 2 centrado na origem. Para facilitar, é melhor usar coordenadas polares, já que a região é circular.
Em coordenadas polares:
y = r sintheta
dx , dy = r , dr , dtheta
Os limites para vão de 0 a 2, e para de 0 a .

Passo 6

Vamos reescrever a integral:
integral duplaD (1 - 2y) , dx , dy = integral0^2pi integral0^2 (1 - 2r sintheta ) r , dr , dtheta
Agora, vamos resolver a integral em integral0^2 ( r - 2r^2 sintheta ) , dr = [ r^22 - 2r^33 sintheta ]0^2 = 42 - 163 sintheta = 2 - 163 sintheta primeiro:

Passo 7

Agora, integramos em integral0^2pi (2 - 163 sintheta ) , dtheta = 2 cdot 2pi - 163 cdot 0 = 4pi :
O termo com desaparece porque a integral de de 0 a é zero.

Resposta

A integral vale , e usar o Teorema de Green foi uma boa escolha para simplificar os cálculos!

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