Calcule integralgamma P d x+Q d y, onde
P(x, y)=-y[1(x-1)^2+y^2+1x^2+y^2+1(x+1)^2+y^2] Q(x, y)=x-1(x-1)^2+y^2+xx^2+y^2+x+1(x+1)^2+y^2
para
b) gamma cuja imagem é a circunferência x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de linha! A gente precisa calcular a integral ∫₍γ₎ P dx + Q dy, onde as funções P(x, y) e Q(x, y) são dadas, e o caminho γ é a circunferência definida por x² + y² = 4. Basicamente, vamos trabalhar com cálculo vetorial e, mais especificamente, com integrais de linha sobre curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular essa integral. A integral de linha ∫₍γ₎ P dx + Q dy representa o trabalho realizado por um campo vetorial F = (P, Q) ao se mover ao longo da curva γ. Para facilitar, vamos verificar se o campo F é conservativo ou se podemos aplicar o Teorema de Green.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Green, precisamos verificar se o campo F é suave no domínio considerado. O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
ointgamma P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, calculemos ∂Q/∂x:
Q(x, y) = x-1(x-1)^2 + y^2 + xx^2 + y^2 + x+1(x+1)^2 + y^2
A derivada de cada termo em relação a x é:
partial Qpartial x = (1)((x-1)^2 + y^2) - (x-1)(2(x-1))((x-1)^2 + y^2)^2 + (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 + (1)((x+1)^2 + y^2) - (x+1)(2(x+1))((x+1)^2 + y^2)^2
Simplificando, cada derivada resulta em:
partial Qpartial x = y^2 - (x-1)^2((x-1)^2 + y^2)^2 + y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 + y^2 - (x+1)^2((x+1)^2 + y^2)^2
Agora, vamos calcular ∂P/∂y:
P(x, y) = -y[1(x-1)^2 + y^2 + 1x^2 + y^2 + 1(x+1)^2 + y^2]
Derivando em relação a y:
partial Ppartial y = -[1(x-1)^2 + y^2 + 1x^2 + y^2 + 1(x+1)^2 + y^2] - y[-2y((x-1)^2 + y^2)^2 + -2y(x^2 + y^2)^2 + -2y((x+1)^2 + y^2)^2]
Simplificando:
partial Ppartial y = -[1(x-1)^2 + y^2 + 1x^2 + y^2 + 1(x+1)^2 + y^2] + 2y^2((x-1)^2 + y^2)^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 + 2y^2((x+1)^2 + y^2)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença ∂Q/∂x - ∂P/∂y:
Substituindo as expressões que encontramos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = [y^2 - (x-1)^2((x-1)^2 + y^2)^2 + y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 + y^2 - (x+1)^2((x+1)^2 + y^2)^2] - [-(1(x-1)^2 + y^2 + 1x^2 + y^2 + 1(x+1)^2 + y^2) + 2y^2((x-1)^2 + y^2)^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 + 2y^2((x+1)^2 + y^2)^2]
Simplificando essa expressão, percebemos que os termos se cancelam:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0

Passo 6

Com essa diferença sendo zero, segundo o Teorema de Green, a integral de linha ao redor da curva γ será igual à integral dupla de zero sobre a área D delimitada por γ. Ou seja:
ointgamma P dx + Q dy = integral duplaD 0 , dA = 0

Resposta

A integral é igual a 0.

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