Calcule
, onde
para
b)
cuja imagem é a circunferência
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de linha! A gente precisa calcular a integral ∫₍γ₎ P dx + Q dy, onde as funções P(x, y) e Q(x, y) são dadas, e o caminho γ é a circunferência definida por x² + y² = 4. Basicamente, vamos trabalhar com cálculo vetorial e, mais especificamente, com integrais de linha sobre curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular essa integral. A integral de linha ∫₍γ₎ P dx + Q dy representa o trabalho realizado por um campo vetorial F = (P, Q) ao se mover ao longo da curva γ. Para facilitar, vamos verificar se o campo F é conservativo ou se podemos aplicar o Teorema de Green.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Green, precisamos verificar se o campo F é suave no domínio considerado. O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, calculemos ∂Q/∂x:
A derivada de cada termo em relação a x é:
Simplificando, cada derivada resulta em:
Agora, vamos calcular ∂P/∂y:
Derivando em relação a y:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença ∂Q/∂x - ∂P/∂y:
Substituindo as expressões que encontramos:
Simplificando essa expressão, percebemos que os termos se cancelam:
Passo 6
Com essa diferença sendo zero, segundo o Teorema de Green, a integral de linha ao redor da curva γ será igual à integral dupla de zero sobre a área D delimitada por γ. Ou seja:
Resposta
A integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule a área das regiões
:
b) é a região delimitada pela curva
, com
, onde
são as coordenadas polares no plano.
b)
Calcular a integral
, percorrendo
no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
a) é o círculo de raio 2 centrado na origem;
a)
Calcule
a) sendo a elipse
, percorrida no sentido antihorário.
a)
Seja
o vetor unitário normal à curva fechada simples diferenciável
cada ponto, orientada para a região exterior à curva e seja
a região interior a
, ou seja
.
b) Mostre que se é um campo vetorial de classe
, definido em
e seu interior, então:
b) Mostre que se
que é um resultado conhecido como teorema da divergência.