Calcule a área das regiões :
b) é a região delimitada pela curva , com , onde são as coordenadas polares no plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a área da região delimitada pela curva no sistema de coordenadas polares, onde varia de a . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral em coordenadas polares para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula geral para a área de uma região delimitada por uma curva é:
Onde e são os limites de . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva . Primeiro, elevamos ao quadrado:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula da área:

Passo 5

Precisamos simplificar a integral. Sabemos que:
Então, substituindo isso na integral:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 7

Avaliar os limites de integração:
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcular a integral , percorrendo no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
a) é o círculo de raio 2 centrado na origem;
Calcule , onde
para
a) cuja imagem é a circunferência
Calcule , onde
para
b) cuja imagem é a circunferência
Calcule
a) sendo a elipse , percorrida no sentido antihorário.