Calcule a área das regiões
:
b)
é a região delimitada pela curva
, com
, onde
são as coordenadas polares no plano.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a área da região
delimitada pela curva
no sistema de coordenadas polares, onde
varia de
a
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral em coordenadas polares para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula geral para a área
de uma região delimitada por uma curva
é:
Onde
e
são os limites de
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva
. Primeiro, elevamos
ao quadrado:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Passo 5
Precisamos simplificar a integral. Sabemos que:
Então, substituindo isso na integral:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 7
Avaliar os limites de integração:
-
Para
: -
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcular a integral
, percorrendo
no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
a) é o círculo de raio 2 centrado na origem;
a)
Calcule
, onde
para
a) cuja imagem é a circunferência
a)
Calcule
, onde
para
b) cuja imagem é a circunferência
b)
Calcule
a) sendo a elipse
, percorrida no sentido antihorário.
a)