Calcule a área das regiões D :
b) D é a região delimitada pela curva r = 1 + cos(theta), com 0 <= theta < 2 pi, onde (r, θ) são as coordenadas polares no plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a área da região delimitada pela curva no sistema de coordenadas polares, onde varia de a . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral em coordenadas polares para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula geral para a área de uma região delimitada por uma curva é:
Onde e são os limites de . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva . Primeiro, elevamos ao quadrado:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula da área:

Passo 5

Precisamos simplificar a integral. Sabemos que:
Então, substituindo isso na integral:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 7

Avaliar os limites de integração:
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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