Suponha que a variável aleatória bidimensional (X, Y) tenha fdp conjunta
f(x, y)= x^2+x y3 & se 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & se c c
(2) P(Y.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória bidimensional f(x, y)= x^2+x y3 & se 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & caso contrário com uma função de densidade de probabilidade (fdp) conjunta definida por:
á
O objetivo aqui é calcular a probabilidade de , ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, especificamente integrando a fdp conjunta sobre a região onde .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que P(Y < X) = integralx=0^1 integraly=0^x ( x^2 + x y3 ) dy , dx é a probabilidade de que o valor de seja menor que o valor de . Para encontrar essa probabilidade, vamos integrar a fdp conjunta sobre a região onde .
Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integraly=0^x ( x^2 + x y3 ) dy . A integral interna é:
integral x^2 dy = x^2 y
Vamos resolver essa integral:
  1. Integramos integral x y3 dy = x3 cdot y^22 = x y^26 em relação a x^2 y + x y^26 g|0^x = x^3 + x (x)^26 - (0 + 0) = x^3 + x^36 :
x^3 + x^36 = 6x^3 + x^36 = 7x^36
  1. Integramos em relação a :
Então, a integral interna fica:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a P(Y < X) = integralx=0^1 7x^36 dx :
integral 7x^36 dx = 76 cdot x^44 = 7x^424
Vamos resolver essa integral:
7(1)^424 - 7(0)^424 = 724 - 0 = 724
Avaliado de 0 a 1:

Resposta

A probabilidade é , ou aproximadamente 0,2917 (29,17%).

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