Ao calcular a integral de linha
ao longo da curva
com obtemos a resposta . Qual o valor de A?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva específica. O enunciado fala sobre a integral ao longo de uma curva parametrizada por e , onde varia de 0 até . Vamos utilizar cálculo vetorial e parametrização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como parametrizar a integral de linha. A integral pode ser reescrita em termos de usando as funções e . Para isso, precisamos calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Essas derivadas serão usadas para substituir e na integral.

Passo 4

Agora, substituímos , , e na integral original:
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 5

Expandindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, nossa integral fica:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 7

Calculando os limites de integração para cada termo:

Passo 8

Somando todos os resultados:
Simplificando:
Fatorando:

Resposta

O valor de é 9.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral da EDO:

Dado para a questão:

(Stewart) Um isótopo de estrôncio, Sr, tem uma meia-vida de 25 anos.
(a) Calcule a massa de Sr que resta a partir de uma amostra de 18 mg depois de anos.
Calcule as integrais a seguir:
Calcule as integrais a seguir: