Ao calcular a integral de linha
integralC(x+2 y) d x+(x-y) d y
ao longo da curva
C: x(t)=3 cos (t), y(t)=6 sin (t)
com 0 <= t <= pi4 obtemos a resposta A(1-pi)4. Qual o valor de A?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva específica. O enunciado fala sobre a integral ao longo de uma curva parametrizada por e , onde varia de 0 até . Vamos utilizar cálculo vetorial e parametrização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como parametrizar a integral de linha. A integral pode ser reescrita em termos de usando as funções e . Para isso, precisamos calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
dxdt = -3 sin(t)
dydt = 6 cos(t)
Essas derivadas serão usadas para substituir e na integral.

Passo 4

Agora, substituímos integral0^pi4 [ (3 cos(t) + 2 cdot 6 sin(t)) cdot (-3 sin(t)) + (3 cos(t) - 6 sin(t)) cdot 6 cos(t) ] dt , integral0^pi4 [ (3 cos(t) + 12 sin(t)) cdot (-3 sin(t)) + (3 cos(t) - 6 sin(t)) cdot 6 cos(t) ] dt , e na integral original:
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 5

Expandindo os termos:
-9 cos(t) sin(t) - 36 sin^2(t) + 18 cos^2(t) - 36 cos(t) sin(t)
Agrupando termos semelhantes:
-45 cos(t) sin(t) - 36 sin^2(t) + 18 cos^2(t)
Agora, nossa integral fica:
integral0^pi4 ( -45 cos(t) sin(t) - 36 sin^2(t) + 18 cos^2(t) ) dt

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 7

Calculando os limites de integração para cada termo:

Passo 8

Somando todos os resultados:
-454 - 9pi2 + 9 + 9pi4 + 92
Simplificando:
-9pi4 + 94
Fatorando:
9(1 - pi)4

Resposta

O valor de é 9.

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