Ao calcular a integral de linha
ao longo da curva
com
obtemos a resposta
. Qual o valor de A?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva específica. O enunciado fala sobre a integral
ao longo de uma curva parametrizada por
e
, onde
varia de 0 até
. Vamos utilizar cálculo vetorial e parametrização para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como parametrizar a integral de linha. A integral
pode ser reescrita em termos de
usando as funções
e
. Para isso, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Essas derivadas serão usadas para substituir
e
na integral.
Passo 4
Agora, substituímos
,
,
e
na integral original:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 5
Expandindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 7
Calculando os limites de integração para cada termo:
Passo 8
Somando todos os resultados:
Simplificando:
Fatorando:
Resposta
O valor de
é 9.
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