Encontre a solução geral da EDO:
x dy/dx - y = x y^3 ln(1+x)

Dado para a questão:

x^3/(1+x)=x^2-x+1-1/(1+x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e métodos de resolução de equações de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo de EDO e aplicar uma substituição que simplifique a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar ela no formato padrão de uma equação de Bernoulli. Dividindo ambos os lados por , fica:
Agora, comparando com a forma geral de Bernoulli:
Aqui, , e .

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a EDO em uma equação linear. Definimos:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir da equação original na expressão de . Da equação reorganizada:
Substituindo na derivada de :
Como , temos:

Passo 5

Reorganizando a equação para ficar na forma padrão de uma equação linear:
Agora, identificamos os termos para o fator integrante. Aqui, .

Passo 6

Calculamos o fator integrante :

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral pode ser resolvida por partes, mas para simplificação, vamos supor que já temos essa antiderivada.

Passo 9

Depois de integrar, resolvemos para :
Lembrando que , temos:

Passo 10

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da EDO é
onde é a constante de integração.

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