Encontre a solução geral da EDO:
Dado para a questão:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e métodos de resolução de equações de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo de EDO e aplicar uma substituição que simplifique a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar ela no formato padrão de uma equação de Bernoulli. Dividindo ambos os lados por
, fica:
Agora, comparando com a forma geral de Bernoulli:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a EDO em uma equação linear. Definimos:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
da equação original na expressão de
. Da equação reorganizada:
Substituindo na derivada de
:
Como
, temos:
Passo 5
Reorganizando a equação para ficar na forma padrão de uma equação linear:
Agora, identificamos os termos para o fator integrante. Aqui,
.
Passo 6
Calculamos o fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral
pode ser resolvida por partes, mas para simplificação, vamos supor que já temos essa antiderivada.
Passo 9
Depois de integrar, resolvemos para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
é a constante de integração.
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Encontre a solução dos PVIS, determine o intervalo de validade e faça o gráfico no GeoGebra da solução:
Ao calcular a integral de linha
ao longo da curva
com
obtemos a resposta
. Qual o valor de A?
Calcule as integrais a seguir: