Calcule as integrais a seguir: integralpi / 2^2 pi x sen x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integralpi / 2^2 pi x sin x , dx. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo, especificamente à técnica de integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar partes da função que serão diferenciadas e integradas.

Passo 2

A integração por partes utiliza a fórmula:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Precisamos escolher u e dv de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos definir:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sin x , dx Rightarrow v = -cos x
Aqui, diferenciamos u e integramos dv para encontrar v.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x sin x , dx = u , v - integral v , du = -x cos x - integral (-cos x) , dx
Simplificando:
= -x cos x + integral cos x , dx

Passo 5

Agora, integramos cos x:
integral cos x , dx = sin x
Portanto, a expressão completa fica:
integral x sin x , dx = -x cos x + sin x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Como estamos calculando uma integral definida, avaliamos a expressão de nos limites de -x cos x + sin x a pi/2:
2pi

Passo 7

Sabemos que:
cos 2pi = 1, sin 2pi = 0, cos pi2 = 0, sin pi2 = 1
Substituindo esses valores:
= ( -2pi cdot 1 + 0 ) - ( -pi2 cdot 0 + 1 ) = -2pi - 1

Resposta

O valor da integral é -2pi - 1.

Exercícios relacionados