Determine as derivadas parciais primeiras de
, por definição:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
em relação a
e
. Isso significa que vamos calcular como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis de cada vez, mantendo a outra constante. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que envolve limites.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
. Pela definição, temos:
Isso significa que vamos ver quanto a função muda quando aumentamos
em um pouquinho,
, enquanto
permanece constante.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
. Substituindo
por
na função original:
Passo 4
Vamos expandir os termos:
Passo 5
Agora, subtraímos
da expressão acima:
Passo 6
Dividimos essa diferença por
:
Passo 7
Agora, tiramos o limite quando
tende a zero:
Então, a derivada parcial de
em relação a
é
.
Passo 8
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Usando a definição:
Aqui,
é um pequeno aumento em
, enquanto
permanece constante.
Passo 9
Calculamos
substituindo
por
:
Passo 10
Expandindo os termos:
Passo 11
Subtraímos
:
Passo 12
Dividimos essa diferença por
:
Passo 13
Tiramos o limite quando
tende a zero:
Então, a derivada parcial de
em relação a
é
.
Resposta
As derivadas parciais primeiras da função
são: