Determine as derivadas parciais primeiras de f(x, y), por definição: f(x, y) = 2 x^2 + x y - 6 x - 3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função em relação a e . Isso significa que vamos calcular como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis de cada vez, mantendo a outra constante. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que envolve limites.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , que é denotada por . Pela definição, temos:
Isso significa que vamos ver quanto a função muda quando aumentamos em um pouquinho, , enquanto permanece constante.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular . Substituindo por na função original:

Passo 4

Vamos expandir os termos:

Passo 5

Agora, subtraímos da expressão acima:

Passo 6

Dividimos essa diferença por :

Passo 7

Agora, tiramos o limite quando tende a zero:
Então, a derivada parcial de em relação a é .

Passo 8

Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Usando a definição:
Aqui, é um pequeno aumento em , enquanto permanece constante.

Passo 9

Calculamos substituindo por :

Passo 10

Expandindo os termos:

Passo 11

Subtraímos :

Passo 12

Dividimos essa diferença por :

Passo 13

Tiramos o limite quando tende a zero:
Então, a derivada parcial de em relação a é .

Resposta

As derivadas parciais primeiras da função são:

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