Verdadeiro (V) ou Falso ( F ): ()Se f(x, y) tem derivada direcional em todas as direções então f é diferenciável

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se ter todas as derivadas direcionais de uma função implica que ela é diferenciável. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas direcionais e diferenciabilidade, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. É basicamente a taxa de variação da função em qualquer direção específica . Se a função tem derivadas direcionais em todas as direções, significa que podemos calcular essa taxa de variação para qualquer .

Passo 3

Agora, ser diferenciável é um conceito mais forte. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso implica que todas as derivadas parciais existem e que a função é “suave” naquele ponto.

Passo 4

A questão é: ter todas as derivadas direcionais é suficiente para garantir que a função seja diferenciável? Na verdade, não. É possível que a função tenha todas as derivadas direcionais, mas não seja diferenciável. Isso acontece quando as derivadas direcionais não se comportam de maneira consistente para formar o plano tangente.

Passo 5

Um exemplo clássico disso é a função quando e . Ela tem todas as derivadas direcionais no ponto , mas não é diferenciável ali porque a aproximação pelo plano tangente não funciona de forma consistente.

Resposta

Falso.

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