Verdadeiro (V) ou Falso ( F ): ()Se f(x, y) tem derivada direcional em todas as direções então f é diferenciável
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se ter todas as derivadas direcionais de uma função
implica que ela é diferenciável. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas direcionais e diferenciabilidade, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. É basicamente a taxa de variação da função
em qualquer direção específica
. Se a função tem derivadas direcionais em todas as direções, significa que podemos calcular essa taxa de variação para qualquer
.
Passo 3
Agora, ser diferenciável é um conceito mais forte. Uma função
é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso implica que todas as derivadas parciais existem e que a função é “suave” naquele ponto.
Passo 4
A questão é: ter todas as derivadas direcionais é suficiente para garantir que a função seja diferenciável? Na verdade, não. É possível que a função tenha todas as derivadas direcionais, mas não seja diferenciável. Isso acontece quando as derivadas direcionais não se comportam de maneira consistente para formar o plano tangente.
Passo 5
Um exemplo clássico disso é a função
quando
e
. Ela tem todas as derivadas direcionais no ponto
, mas não é diferenciável ali porque a aproximação pelo plano tangente não funciona de forma consistente.
Resposta
Falso.