Limites logs.
- (1 PONTO) Considere a função logarítmica e determine o valor de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o limite da função
quando
se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de cálculo de limites e propriedades da função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 0. Substituindo diretamente, temos:
Essa forma
é uma forma indeterminada, o que significa que não conseguimos concluir o valor do limite apenas substituindo os valores.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, se
resulta em
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite:
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Passo 5
Substituindo as derivadas no limite, temos:
Agora, substituímos
por 0 na expressão:
Resposta
O valor do limite é
.