Limites logs.

  1. (1 PONTO) Considere a função logarítmica e determine o valor de lim x to 0 log(x+1)x.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o limite da função quando se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de cálculo de limites e propriedades da função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando log(0+1)0 = log(1)0 = 00 se aproxima de 0. Substituindo diretamente, temos:
Essa forma é uma forma indeterminada, o que significa que não conseguimos concluir o valor do limite apenas substituindo os valores.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, se resulta em ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite:
limx to 0 log(x+1)x
Derivando o numerador ddx[log(x+1)] = 1x+1 :
ddx[x] = 1
Derivando o denominador :

Passo 5

Substituindo as derivadas no limite, temos:
limx to 0 1x+11 = limx to 0 1x+1
Agora, substituímos 10+1 = 11 = 1 por 0 na expressão:

Resposta

O valor do limite é .

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