Calcular a integral seguinte usando o método da substituição:
integral 6 x^5 raiz5 x^6+2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções compostas, ou seja, uma função dentro de outra. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função para substituir por uma variável mais simples, o que facilitará o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a parte dentro da raiz, u = 5x^6 + 2 , parece uma boa candidata para substituição. Vamos definir:
Isso significa que agora queremos expressar a integral em termos de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 30x^5 em relação a dx = du30x^5 para encontrar 6x^5dx = 6x^5 cdot du30x^5 = 630 du = 15 du :
Rearranjando para :
Mas na nossa integral original, temos um . Vamos substituir isso usando nossa expressão para :

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral 6x^5 raiz5x^6+2 , dx = integral raizu cdot 15 du = 15 integral u^1/2 du
Agora, a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar integral u^1/2 du = 23 u^3/2 + C em relação a 15 cdot 23 u^3/2 + C = 215 u^3/2 + C :
Multiplicando pelo fator :

Passo 6

Agora, substituímos 215 (5x^6 + 2)^3/2 + C de volta para :

Resposta

A integral 215 (5x^6 + 2)^3/2 + C é igual a:

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