Resolver a seguinte integral usando a técnica de integração por partes:
integral x sen(7 x) d x.

Passo 1

O exercício pede para resolver a integral integral x sen(7x) , dx usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes e identificar quais partes da integral serão u e dv.

Passo 2

A técnica de integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Primeiro, vamos escolher u e dv. Geralmente, escolhemos u como a função que se simplifica ao derivar, e dv como o que será integrado.
Aqui, vamos definir:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sen(7x) , dx Rightarrow v = -17 cos(7x)

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x sen(7x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores de u, v e du:
= x (-17 cos(7x)) - integral (-17 cos(7x)) , dx

Passo 4

Simplificando a expressão:
= -x7 cos(7x) + 17 integral cos(7x) , dx
Agora, vamos integrar cos(7x):
integral cos(7x) , dx = 17 sen(7x) + C

Passo 5

Substituindo a integração de volta na equação:
= -x7 cos(7x) + 17 ( 17 sen(7x) ) + C
Simplificando:
= -x7 cos(7x) + 149 sen(7x) + C

Resposta

integral x sen(7x) , dx = -x7 cos(7x) + 149 sen(7x) + C

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