Calcular a integral seguinte usando o método da substituição:
integral(x^4-3)^18 x^3 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral integral(x^4-3)^18 x^3 d x usando o método da substituição. Essa é uma técnica de cálculo integral que facilita resolver integrais complicadas transformando a variável de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que dentro da potência tem x^4 - 3. Então vamos definir:
u = x^4 - 3
Isso é útil porque a derivada de u em relação a x envolve o termo x^3, que já está presente na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 4x^3
Para facilitar a substituição, vamos resolver para dx:
dx = du4x^3

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral(x^4-3)^18 x^3 d x = integral u^18 cdot x^3 cdot du4x^3
Os termos x^3 se cancelam:
= 14 integral u^18 du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^18 em relação a u:
integral u^18 du = u^18 + 118 + 1 + C = u^9898 + C = 89 u^98 + C

Passo 6

Voltando à variável original x, substituímos u = x^4 - 3:
14 cdot 89 (x^4 - 3)^98 + C = 29 (x^4 - 3)^98 + C

Resposta

A integral é igual a
29 (x^4 - 3)^98 + C

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