Encontre os pontos P e Q sobre a parábola y = 1 - x^2 de forma que o triângulo A B C formado pelo eixo x e pelas retas P e Q seja equilátero.
Figura extraída da pág. 242 de 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma parábola definida pela equação . Precisamos encontrar dois pontos, e , que estão sobre essa parábola. A partir desses pontos, vamos traçar retas que intersectam o eixo , formando um triângulo . A condição é que esse triângulo seja equilátero, ou seja, todos os seus lados devem ter o mesmo comprimento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equação de retas e distância entre pontos.

Passo 2

Vamos começar identificando as coordenadas dos pontos e na parábola . Suponha que tenha coordenadas e tenha coordenadas , onde e são as abscissas dos pontos e , respectivamente.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as equações das retas que passam por e e interceptam o eixo . A equação de uma reta que passa por um ponto e intercepta o eixo pode ser escrita na forma , onde é o coeficiente angular da reta.

Passo 4

Vamos determinar as interseções dessas retas com o eixo . No eixo , . Substituindo na equação da reta, podemos resolver para e encontrar os pontos de interseção e .

Passo 5

Com os pontos e encontrados, precisamos determinar o ponto , que é a interseção das duas retas que passamos por e . Isso envolve resolver o sistema de equações das duas retas para encontrar as coordenadas de .

Passo 6

Finalmente, aplicaremos a condição de que o triângulo seja equilátero. Isso significa que as distâncias entre e , e , e e devem ser iguais. Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, estabelecemos igualdades e resolvemos para encontrar os valores de e . Com esses valores, podemos determinar as coordenadas finais dos pontos e .

Resposta

Após os cálculos, os pontos e que satisfazem as condições da questão são:

Exercícios relacionados