Encontre os pontos
e
sobre a parábola
de forma que o triângulo
formado pelo eixo
e pelas retas
e
seja equilátero.
Figura extraída da pág. 242 de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma parábola definida pela equação
. Precisamos encontrar dois pontos,
e
, que estão sobre essa parábola. A partir desses pontos, vamos traçar retas que intersectam o eixo
, formando um triângulo
. A condição é que esse triângulo seja equilátero, ou seja, todos os seus lados devem ter o mesmo comprimento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equação de retas e distância entre pontos.
Passo 2
Vamos começar identificando as coordenadas dos pontos
e
na parábola
. Suponha que
tenha coordenadas
e
tenha coordenadas
, onde
e
são as abscissas dos pontos
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as equações das retas que passam por
e
e interceptam o eixo
. A equação de uma reta que passa por um ponto
e intercepta o eixo
pode ser escrita na forma
, onde
é o coeficiente angular da reta.
Passo 4
Vamos determinar as interseções dessas retas com o eixo
. No eixo
,
. Substituindo na equação da reta, podemos resolver para
e encontrar os pontos de interseção
e
.
Passo 5
Com os pontos
e
encontrados, precisamos determinar o ponto
, que é a interseção das duas retas que passamos por
e
. Isso envolve resolver o sistema de equações das duas retas para encontrar as coordenadas de
.
Passo 6
Finalmente, aplicaremos a condição de que o triângulo
seja equilátero. Isso significa que as distâncias entre
e
,
e
, e
e
devem ser iguais. Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, estabelecemos igualdades e resolvemos para encontrar os valores de
e
. Com esses valores, podemos determinar as coordenadas finais dos pontos
e
.
Resposta
Após os cálculos, os pontos
e
que satisfazem as condições da questão são: