Resolver a seguinte integral usando a técnica da substituição trigonométrica:
integral x^3 raiz4-x^2 d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x^3 raiz4 - x^2 , dx utilizando a técnica da substituição trigonométrica. Para isso, precisamos conhecer as identidades trigonométricas e como aplicá-las em integrais que envolvem expressões como raiza^2 - x^2.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a expressão raiz4 - x^2 sugere o uso da substituição trigonométrica do tipo x = a sin theta. Aqui, a = 2, então fazemos:
x = 2 sin theta

Passo 3

Calculamos a derivada de x em relação a theta para encontrar dx:
dx = 2 cos theta , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral x^3 raiz4 - x^2 , dx = integral (2 sin theta)^3 cdot raiz4 - (2 sin theta)^2 cdot 2 cos theta , dtheta
Simplificando:
= integral 8 sin^3 theta cdot raiz4 - 4 sin^2 theta cdot 2 cos theta , dtheta
= integral 8 sin^3 theta cdot 2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta
= 32 integral sin^3 theta cos^2 theta , dtheta

Passo 5

Para resolver integral sin^3 theta cos^2 theta , dtheta, usamos a substituição u = cos theta, então du = -sin theta , dtheta. Reescrevemos a integral:
= 32 integral sin^2 theta cos^2 theta sin theta , dtheta
= 32 integral (1 - cos^2 theta) cos^2 theta , (-du)
= -32 integral (1 - u^2) u^2 , du

Passo 6

Expandimos e integramos termo a termo:
= -32 integral (u^2 - u^4) , du
= -32 ( u^33 - u^55 ) + C
= -323 u^3 + 325 u^5 + C

Passo 7

Substituímos u = cos theta de volta:
= -323 cos^3 theta + 325 cos^5 theta + C

Passo 8

Agora, expressamos cos theta em termos de x. Sabemos que x = 2 sin theta, então:
cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - (x2)^2 = raiz4 - x^22
Substituindo na expressão anterior:
= -323 ( raiz4 - x^22 )^3 + 325 ( raiz4 - x^22 )^5 + C
Simplificando:
= -323 cdot (4 - x^2)^3/28 + 325 cdot (4 - x^2)^5/232 + C
= -(4 - x^2)^3/23 + (4 - x^2)^5/25 + C

Resposta

A integral resolvida é:
integral x^3 raiz4 - x^2 , dx = -(4 - x^2)^3/23 + (4 - x^2)^5/25 + C

Exercícios relacionados