Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados. Fazer o gráfico das funções dadas, verificando que os resultados encontrados são coerentes.
f(x) = { 2, -3 <= x <= -1; |x|, -1 < x <= 1; 2, 1 < x <= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de integrais, mas de forma dividida por partes. A função está definida em três intervalos diferentes: de a , de a , e de a . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de funções constantes e da função valor absoluto. Além disso, vamos precisar fazer um gráfico para conferir se tudo faz sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função em cada intervalo:
Isso significa que:
  1. De a , (uma linha reta horizontal).
  2. De a , (a função valor absoluto, que forma um “V”).
  3. De a , novamente.

Passo 3

Vamos calcular a integral no primeiro intervalo, de a , onde .
A integral de uma função constante de a é:
Aplicando isso:
Então, a integral nesse intervalo é 4.

Passo 4

Agora, vamos para o segundo intervalo, de a , onde .
A função valor absoluto é simétrica em relação ao eixo vertical, então podemos calcular a integral de a e depois dobrar o resultado.
A integral de de a é:
Calculando:
Então:
A integral nesse intervalo é 1.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a integral no terceiro intervalo, de a , onde novamente .
Usando a mesma lógica do primeiro passo:
Então, a integral nesse intervalo também é 4.

Passo 6

Agora, vamos somar as integrais de todos os intervalos para obter o valor total:

Passo 7

Para conferir se tudo está certinho, vamos pensar no gráfico da função. Nos intervalos a e a , temos linhas retas horizontais no nível . Entre e , temos um “V” formado pela função . Calculando a área sob cada parte, chegamos a um total de 9, o que faz sentido visualmente, já que temos duas áreas retangulares de área 4 cada e uma área triangular de área 1 no meio.

Resposta

A integral da função de a é igual a 9.

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