Use redução de ordem para encontrar a solução para cada equação diferencial.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
utilizando o método de redução de ordem. Aqui, já conhecemos uma solução particular
. Vamos precisar entender como usar essa solução conhecida para encontrar uma segunda solução que, combinadas, formarão a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea, se já conhecemos uma solução
, podemos encontrar uma segunda solução
assumindo que ela seja da forma:
Onde
é uma função que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos derivar
:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 4
Simplificando a expressão acima, percebemos que os termos contendo
se cancelam porque
é uma solução da equação original. Assim, ficamos com:
Fatorando
:
Dividindo por
:
Mas sabemos que
, então
. Substituindo:
Passo 5
A equação
é simples de resolver. Integrando duas vezes:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão para
:
Como estamos buscando uma solução linearmente independente de
, podemos escolher
. Assim, a segunda solução é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.