Use redução de ordem para encontrar a solução para cada equação diferencial.
ll a) y^prime prime-4 y^prime+4 y=0 ; y1=e^2 x & b) (1+2 x) y^prime prime+4 x y^prime-4 y=0 ; y1=e^-2 x c) x^2 y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0 ; y1=x^2+x^3 & d) y^prime prime-3(tg x) y^prime=0, y1=1 e) x^2 y^prime prime-20 y=0, y1=x^-4 & f) x^2 y^prime prime-7 x y^prime-20 y=0, y1=x^10 g) 6 y^prime prime+y^prime-y=0, y1=e^x3 & h) y^prime prime+9 y=0, y1=sen 3 x i) 9 y^prime prime-12 y^prime+4 y=0, y1=e^2 x3 & j) y^prime prime-25 y=0, y1=e^5 x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial utilizando o método de redução de ordem. Aqui, já conhecemos uma solução particular . Vamos precisar entender como usar essa solução conhecida para encontrar uma segunda solução que, combinadas, formarão a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea, se já conhecemos uma solução y2 = v(x) cdot y1 , podemos encontrar uma segunda solução assumindo que ela seja da forma:
Onde é uma função que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos derivar y2' = v'(x) cdot y1 + v(x) cdot y1' :
y2'' = v''(x) cdot y1 + 2v'(x) cdot y1' + v(x) cdot y1''
v''(x) cdot y1 + 2v'(x) cdot y1' + v(x) cdot y1'' - 4(v'(x) cdot y1 + v(x) cdot y1') + 4v(x) cdot y1 = 0
Agora, substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 4

Simplificando a expressão acima, percebemos que os termos contendo v''(x) cdot y1 + 2v'(x) cdot y1' - 4v'(x) cdot y1 = 0 se cancelam porque v'(x) cdot (2y1' - 4y1) + v''(x) cdot y1 = 0 é uma solução da equação original. Assim, ficamos com:
v''(x) + v'(x) cdot (2y1' - 4y1y1) = 0
Fatorando v''(x) + v'(x) cdot (2(2e^2x) - 4e^2xe^2x) = v''(x) + v'(x) cdot (4 - 4) = v''(x) = 0 :
Dividindo por :
Mas sabemos que , então . Substituindo:

Passo 5

A equação v'(x) = C1 é simples de resolver. Integrando duas vezes:
v(x) = C1x + C2
Onde e são constantes de integração.

Passo 6

Agora, substituímos y2 = v(x) cdot y1 = (C1x + C2) e^2x na expressão para y2 = x e^2x :
Como estamos buscando uma solução linearmente independente de , podemos escolher . Assim, a segunda solução é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^2x + C2 x e^2x
Onde e são constantes arbitrárias.

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