Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados. Fazer o gráfico das funções dadas, verificando que os resultados encontrados são coerentes.
f(x) = { x, 0 <= x <= 1; 2 x, 1 < x <= 2 }

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma função definida por partes. Isso significa que a função muda a sua expressão dependendo do intervalo de . A gente vai calcular a integral dessa função nos intervalos dados, que são de 0 a 1 e de 1 a 2. Para isso, vamos usar o conceito de integrais definidas e dividir a integral conforme as partes da função. Além disso, vamos esboçar o gráfico para ver se os resultados fazem sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função:
A integral definida da função de 0 a 2 vai ser a soma das integrais de cada parte:

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral de 0 a 1:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites:
Segunda integral de 1 a 2:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites:

Passo 4

Agora, somamos os resultados das duas integrais:

Resposta

A integral da função de 0 a 2 é .

Gráfico

O gráfico da função é uma linha reta que vai de (0,0) a (1,1) e depois de (1,2) a (2,4). Isso confirma que a área calculada pela integral faz sentido, já que a função cresce linearmente em cada intervalo.

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