Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes.
f(x) = { tg(x), 0 <= x <= pi/4; cos(3x), pi/4 < x < pi/3 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa aqui é calcular a integral de uma função que é definida de forma diferente em dois intervalos: de até , a função é , e de até , é . O que vamos precisar é dividir a integral em duas partes e resolver cada uma separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona a integral de uma função definida por partes. Quando uma função muda de expressão em diferentes intervalos, a integral total é a soma das integrais em cada intervalo. Então, nosso plano é:

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: . Sabemos que:
Então, aplicando os limites de a :
Sabendo que e :

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: . A integral de é:
Aplicando e os limites de a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais que calculamos:

Resposta

A integral da função dada é:

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