Investigar as integrais impróprias seguintes.
integral1^+infty ln x d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Aqui, temos uma integral imprópria: integral1^+infty ln x , dx. Isso está relacionado ao cálculo de integrais que se estendem ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com limites no cálculo de integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria como um limite finito. Assim, podemos expressar a integral de 1 até +infty como o limite quando b tende ao infinito da integral de 1 até b:
integral1^+infty ln x , dx = limb to +infty integral1^b ln x , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida integral1^b ln x , dx. Para isso, usamos a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Escolhemos:
  • u = ln x então du = 1x dx
  • dv = dx então v = x
Aplicando a integração por partes:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x + C

Passo 4

Substituindo os limites de integração na expressão obtida:
integral1^b ln x , dx = [ x ln x - x ]1^b = ( b ln b - b ) - ( 1 cdot ln 1 - 1 )
Sabemos que ln 1 = 0, então:
= b ln b - b - (0 - 1) = b ln b - b + 1

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando b tende ao infinito:
limb to +infty ( b ln b - b + 1 )
Analisando cada termo:
  • b ln b tende a +infty
  • -b tende a -infty
  • +1 é uma constante
Comparando as taxas de crescimento, b ln b cresce mais rápido que b, então o termo dominante é b ln b, o que significa que o limite tende a +infty.

Resposta

A integral integral1^+infty ln x , dx diverge para +infty.

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