Investigar as integrais impróprias seguintes.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Aqui, temos uma integral imprópria:
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais que se estendem ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com limites no cálculo de integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria como um limite finito. Assim, podemos expressar a integral de
até
como o limite quando
tende ao infinito da integral de
até
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral definida
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos:
-
então -
então
Aplicando a integração por partes:
Passo 4
Substituindo os limites de integração na expressão obtida:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, aplicamos o limite quando
tende ao infinito:
Analisando cada termo:
-
tende a -
tende a -
é uma constante
Comparando as taxas de crescimento,
cresce mais rápido que
, então o termo dominante é
, o que significa que o limite tende a
.
Resposta
A integral
diverge para
.