Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados. f(x) = { sen(2x), 0 <= x <= pi/2; 1 + cos(x), pi/2 < x <= pi }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma função contínua que é definida por partes em dois intervalos diferentes. A função é:
Vamos precisar usar o conceito de integração por partes definidas para cada intervalo e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral da primeira parte da função, ou seja, de a da função .
A integral definida de é:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Vamos calcular isso:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral da segunda parte da função, de a da função .
Primeiro, separamos a integral:
Calculando cada parte:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Calculando isso:

Resposta

Somando as duas integrais:
Então, o valor da integral definida da função no intervalo de a é:

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