Investigar as integrais impróprias: integral0^5 x d xraiz25-x^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que investigar a integral imprópria:
integral0^5 x , dxraiz25 - x^2
Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente envolvendo integrais que apresentam indeterminações nos limites de integração. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, já que temos um termo no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que x = 5 sintheta se assemelha à identidade trigonométrica dx = 5 costheta , dtheta . Por isso, uma boa ideia é usar a substituição:
Com essa substituição, vamos também calcular :

Passo 3

Agora, vamos substituir integral 5 sintheta cdot 5 costheta , dthetaraiz25 - 25sin^2theta e raiz25(1 - sin^2theta) = raiz25 cos^2theta = 5 costheta na integral original:
Simplificando o denominador:

Passo 4

Substituindo de volta na integral, temos:
integral 25 sintheta costheta , dtheta5 costheta = integral 5 sintheta , dtheta
Agora, a integral ficou muito mais simples! Vamos integrar integral 5 sintheta , dtheta = -5 costheta + C :

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original sintheta = x5 Rightarrow theta = arcsin(x5) . Lembrando que fizemos a substituição -5 costheta = -5 cdot raiz25 - x^25 = -raiz25 - x^2 , podemos resolver para :
Então,
Substituindo na expressão encontrada:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 5:
[ -raiz25 - x^2 ]0^5 = ( -raiz25 - 5^2 ) - ( -raiz25 - 0^2 ) = ( -raiz0 ) - ( -raiz25 ) = 0 - (-5) = 5

Resposta

O valor da integral é 5.

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