Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas. y = sen x e y = -sen(x), x pertencente a [0, 2pi]

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar a área entre as curvas e no intervalo de de a . Vamos usar cálculo integral para resolver isso, especificamente a integração de funções para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as duas curvas se comportam no intervalo dado. A função varia entre -1 e 1 e é simplesmente o reflexo de em relação ao eixo x. No intervalo de a , elas se cruzam nos pontos onde , ou seja, em e .

Passo 3

Vamos dividir o intervalo em duas partes: de a e de a . Nesses intervalos, podemos ver qual função está acima da outra para determinar qual subtrair na integração. De a , está acima de , e de a , está acima de .

Passo 4

A área entre as duas curvas em cada intervalo é dada pela integral da diferença entre as funções:
Á

Passo 5

Vamos simplificar as expressões dentro das integrais:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de de a :

Passo 7

Em seguida, a integral de de a :

Passo 8

Somando as duas áreas calculadas:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e no intervalo de a é 8 unidades de área.

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