Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral x cosec x^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de em relação a . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos simplificar usando substituição.

Passo 2

Vamos identificar uma substituição adequada. Observando a função , percebemos que o termo u = x^2 dentro da função pode ser uma boa escolha para substituição. Vamos definir:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de em relação a .

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx :
x , dx = du2
Isso implica que:
Queremos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos integral x cosec(x^2) , dx = integral cosec(u) cdot du2 e 12 integral cosec(u) , du na integral original:
Podemos levar a constante para fora da integral:

Passo 5

Precisamos agora saber como integrar . A integral de é conhecida e é:
onde integral cosec(u) , du = ln | tan(u2) | + C é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos de volta 12 ln | tan(x^22) | + C na expressão:

Resposta

A integral indefinida de em relação a 12 ln | tan(x^22) | + C é:

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