Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de
em relação a
. Isso entra na área de cálculo integral, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Então,
. Integrar isso diretamente pode ser complicado, então vamos procurar uma maneira de simplificar usando identidades trigonométricas.
Passo 3
Uma identidade útil aqui é expressar
em termos de
. Sabemos que:
Então, podemos escrever:
Passo 4
Vamos expandir
:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo. Primeiro, integramos
:
Para os termos com
e
, vamos usar substituição trigonométrica. Sabemos que:
Passo 6
Vamos fazer a substituição
. Então,
ou
.
Agora, a integral se torna:
Passo 7
Voltando à nossa expansão, precisamos integrar
. Sabemos que:
Então, substituindo de volta:
Passo 8
Agora, voltamos à variável original
:
Então, a integral final é:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas.
e
Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados.