Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral cossec^4(3-2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de em relação a . Isso entra na área de cálculo integral, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Então, . Integrar isso diretamente pode ser complicado, então vamos procurar uma maneira de simplificar usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Uma identidade útil aqui é expressar csc^2(theta) = 1 + cot^2(theta) em termos de csc^4(theta) = (csc^2(theta))^2 = (1 + cot^2(theta))^2 . Sabemos que:
Então, podemos escrever:

Passo 4

Vamos expandir (1 + cot^2(theta))^2 = 1 + 2cot^2(theta) + cot^4(theta) :
integral csc^4(3 - 2x) dx = integral (1 + 2cot^2(3 - 2x) + cot^4(3 - 2x)) dx
Agora, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo. Primeiro, integramos integral 1 , dx = x :
ddx [cot(theta)] = -csc^2(theta) cdot dthetadx
Para os termos com e , vamos usar substituição trigonométrica. Sabemos que:

Passo 6

Vamos fazer a substituição integral csc^4(u) cdot (-12) du = -12 integral csc^4(u) du . Então, ou .
Agora, a integral se torna:

Passo 7

Voltando à nossa expansão, precisamos integrar integral csc^4(u) du = -cot(u) - cot^3(u)3 + C . Sabemos que:
-12 (-cot(u) - cot^3(u)3) + C = 12 cot(u) + 16 cot^3(u) + C
Então, substituindo de volta:

Passo 8

Agora, voltamos à variável original u = 3 - 2x implies cot(u) = cot(3 - 2x) :
12 cot(3 - 2x) + 16 cot^3(3 - 2x) + C
Então, a integral final é:

Resposta

integral csc^4(3 - 2x) dx = 12 cot(3 - 2x) + 16 cot^3(3 - 2x) + C

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