Calcule as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de em relação a . Isso entra na área de cálculo integral, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Então, . Integrar isso diretamente pode ser complicado, então vamos procurar uma maneira de simplificar usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Uma identidade útil aqui é expressar em termos de . Sabemos que:
Então, podemos escrever:

Passo 4

Vamos expandir :
Agora, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo. Primeiro, integramos :
Para os termos com e , vamos usar substituição trigonométrica. Sabemos que:

Passo 6

Vamos fazer a substituição . Então, ou .
Agora, a integral se torna:

Passo 7

Voltando à nossa expansão, precisamos integrar . Sabemos que:
Então, substituindo de volta:

Passo 8

Agora, voltamos à variável original :
Então, a integral final é:

Resposta

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