Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados. f(x) = { x, 0 <= x <= 1; 2x, 1 < x <= 2 }

Passo 1

Beleza, temos uma função que está definida em partes diferentes dependendo do valor de . A ideia aqui é calcular a integral dessa função considerando cada intervalo separadamente. Para isso, vamos usar os conceitos de integrais definidas e funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro pedaço da função: no intervalo . A integral dessa parte é basicamente calcular a área sob a curva de 0 a 1.

Passo 3

A integral de em relação a é . Então, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 1:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo pedaço da função: no intervalo . A integral dessa parte é calcular a área sob a curva de 1 a 2.

Passo 5

A integral de em relação a é . Então, avaliamos essa antiderivada nos limites de 1 a 2:

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
Portanto, o valor da integral da função no intervalo de 0 a 2 é .

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