Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Vamos calcular a integral indefinida
. Esse exercício faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos utilizar técnicas de substituição que facilitam a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a tangente em termos de seno e cosseno. Sabemos que:
Então,
fica:
Passo 3
Substituindo
na integral original:
Simplificando as potências de
:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos utilizar a substituição para facilitar a integração. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Observamos que na integral temos
, que corresponde a
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Integrando em termos de
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original
, substituímos
:
Resposta
A integral indefinida é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Investigar as integrais impróprias:
No plano
, a área da região compreendida entre o eixo
, a curva
, e as retas
e
é igual a
para qualquer
. Determine
.
Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados.