Calcule as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida . Esse exercício faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos utilizar técnicas de substituição que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a tangente em termos de seno e cosseno. Sabemos que:
Então, fica:

Passo 3

Substituindo na integral original:
Simplificando as potências de :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos utilizar a substituição para facilitar a integração. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Observamos que na integral temos , que corresponde a .

Passo 5

Substituindo na integral:
Integrando em termos de :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original , substituímos :

Resposta

A integral indefinida é:

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