Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral tg^3 x cos ^4 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida . Esse exercício faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos utilizar técnicas de substituição que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a tangente em termos de seno e cosseno. Sabemos que:
tan x = sin xcos x
Então, tan^3 x = (sin xcos x)^3 = sin^3 xcos^3 x fica:

Passo 3

Substituindo integral tan^3 x cos^4 x , dx = integral sin^3 xcos^3 x cdot cos^4 x , dx na integral original:
sin^3 xcos^3 x cdot cos^4 x = sin^3 x cdot cos x
Simplificando as potências de integral sin^3 x cdot cos x , dx :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos utilizar a substituição para facilitar a integração. Vamos deixar du = cos x , dx . Então, a derivada de em relação a é:
Observamos que na integral temos , que corresponde a .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral sin^3 x cdot cos x , dx = integral u^3 , du
Integrando em termos de integral u^3 , du = u^44 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original u^44 + C = sin^4 x4 + C , substituímos :

Resposta

A integral indefinida é:
sin^4 x4 + C

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