Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor. integral-infty^+infty 4 x^3(x^4+3)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a integral imprópria converge e, se sim, determinar o valor dela. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e propriedades de funções ímpares e pares.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função . Perceba que o numerador tem , o que indica que a função pode ser ímpar, já que com ímpar é ímpar.

Passo 3

Vamos verificar se a função é ímpar. Uma função é ímpar se f(-x) = 4(-x)^3((-x)^4 + 3)^2 = -4x^3(x^4 + 3)^2 = -4x^3(x^4 + 3)^2 = -f(x) . Calculando:
Então, confirmamos que é uma função ímpar.

Passo 4

Sabemos que se uma função é ímpar e está sendo integrada em um intervalo simétrico em relação à origem, ou seja, de integral-a^a f(x) , dx = 0 a , a integral será zero:
No nosso caso, o intervalo é de a , que também é simétrico.

Passo 5

Antes de concluir, precisamos garantir que a integral realmente converge. Para isso, observamos o comportamento da função para indo para . O denominador cresce mais rápido que o numerador, então a função tende a zero suficientemente rápido, indicando que a integral converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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