No plano , a área da região compreendida entre o eixo , a curva , e as retas e é igual a para qualquer . Determine .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. No plano , temos uma região que está entre o eixo , a curva (que está sempre acima ou no eixo ), e as retas verticais e , onde é maior que 1. A área dessa região é dada por . Nosso objetivo é descobrir qual é a função que gera essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área sob uma curva entre dois pontos e é calculada pela integral definida:
Á
No nosso caso, a área é dada por $ \sqrt{b^{2}+1} - \sqrt{2}$, e os limites de integração são e .

Passo 3

Então, podemos escrever a equação da área assim:
Nosso próximo passo é encontrar que satisfaz essa equação para todo .

Passo 4

Para encontrar , vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso porque a derivada da integral com limite variável nos dá a função , segundo o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos fazer isso no lado direito da nossa equação.

Passo 5

Derivando o lado direito:
Então, temos:

Passo 6

Como é uma variável qualquer, podemos substituir por para expressar a função de forma geral:

Resposta

A função é:

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