No plano
, a área da região compreendida entre o eixo
, a curva
, e as retas
e
é igual a
para qualquer
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. No plano
, temos uma região que está entre o eixo
, a curva
(que está sempre acima ou no eixo
), e as retas verticais
e
, onde
é maior que 1. A área dessa região é dada por
. Nosso objetivo é descobrir qual é a função
que gera essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área sob uma curva
entre dois pontos
e
é calculada pela integral definida:
No nosso caso, a área é dada por $ \sqrt{b^{2}+1} - \sqrt{2}$, e os limites de integração são
e
.
Passo 3
Então, podemos escrever a equação da área assim:
Nosso próximo passo é encontrar
que satisfaz essa equação para todo
.
Passo 4
Para encontrar
, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso porque a derivada da integral com limite variável nos dá a função
, segundo o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos fazer isso no lado direito da nossa equação.
Passo 5
Derivando o lado direito:
Então, temos:
Passo 6
Como
é uma variável qualquer, podemos substituir
por
para expressar a função de forma geral:
Resposta
A função
é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados.
Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados.