No plano x y, a área da região compreendida entre o eixo x, a curva y = f(x), f(x) ≥ 0, e as retas x = 1 e x = b é igual a raiz(b^2 + 1) - raiz(2) para qualquer b > 1. Determine f(x).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. No plano xy, temos uma região que está entre o eixo x, a curva (que está sempre acima ou no eixo x), e as retas verticais x = 1 e , onde b é maior que 1. A área dessa região é dada por . Nosso objetivo é descobrir qual é a função f(x) que gera essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área sob uma curva entre dois pontos e é calculada pela integral definida:
Á
No nosso caso, a área é dada por $ \sqrt{b^{2}+1} - \sqrt{2}$, e os limites de integração são e x = 1.

Passo 3

Então, podemos escrever a equação da área assim:
Nosso próximo passo é encontrar f(x) que satisfaz essa equação para todo .

Passo 4

Para encontrar f(x), vamos derivar ambos os lados da equação em relação a b. Isso porque a derivada da integral com limite variável nos dá a função f(b), segundo o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos fazer isso no lado direito da nossa equação.

Passo 5

Derivando o lado direito:
Então, temos:

Passo 6

Como b é uma variável qualquer, podemos substituir b por x para expressar a função de forma geral:

Resposta

A função f(x) é:

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