Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral da função que é contínua e definida por partes nos intervalos , e . Para isso, vamos precisar saber como integrar funções definidas por trocas de expressões em diferentes intervalos. A gente vai dividir a integral em três partes, uma para cada intervalo, e depois somar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função no intervalo . Como a função é constante, a integral será simplesmente o valor da função multiplicado pelo comprimento do intervalo.

Passo 3

Agora, vamos para o intervalo onde . A função valor absoluto é simétrica em relação ao eixo y, então podemos integrar de a dividindo em duas partes: de a e de a .
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:

Passo 4

Por fim, vamos integrar a função novamente no intervalo . Assim como no primeiro intervalo:

Resposta

Somando todas as integrais dos três intervalos:
Então, a integral da função no intervalo é igual a 9.

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No plano , a área da região compreendida entre o eixo , a curva , e as retas e é igual a para qualquer . Determine .
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Calcule as integrais indefinidas abaixo: