Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral x tg(x^2+1) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de integração por substituição. Para resolvê-lo, vamos precisar identificar uma parte da integral que possamos substituir por uma nova variável, facilitando assim a integração.

Passo 2

Primeiro, observe a parte interna da função tangente, que é u = x^2 + 1 . Vamos fazer uma substituição onde essa expressão será nossa nova variável. Definimos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 , ou seja, :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos integral x tan(x^2 +1) , dx = integral tan(u) cdot du2 = 12 integral tan(u) , du na integral original por :

Passo 5

Sabemos que a integral de integral tan(u) , du = -ln|cos(u)| + C em relação a é uma fórmula padrão:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos 12 integral tan(u) , du = 12 ( -ln|cos(x^2+1)| ) + C = -12 ln|cos(x^2+1)| + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é:
integral x tan(x^2 +1) , dx = -12 ln|cos(x^2+1)| + C

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