Calcule as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de integração por substituição. Para resolvê-lo, vamos precisar identificar uma parte da integral que possamos substituir por uma nova variável, facilitando assim a integração.

Passo 2

Primeiro, observe a parte interna da função tangente, que é . Vamos fazer uma substituição onde essa expressão será nossa nova variável. Definimos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos na integral original por :

Passo 5

Sabemos que a integral de em relação a é uma fórmula padrão:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é:

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