Determinar as equações nas formas paramétrica, simétrica e reduzida da reta que passa pelo ponto e tem direção do vetor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações da reta que passa pelo ponto e tem direção do vetor . Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar nas formas paramétrica, simétrica e reduzida dessa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma reta no espaço. Para definir uma reta, geralmente precisamos de um ponto por onde ela passa e um vetor que indica sua direção. No nosso caso, o ponto é e o vetor diretor é .
Passo 3
Vamos começar escrevendo a forma paramétrica da reta. Nessa forma, expressamos as coordenadas , e em função de um parâmetro, geralmente denotado por .
A forma paramétrica é dada por:
Onde é o ponto da reta e são as componentes do vetor diretor.
Substituindo os valores do ponto e do vetor , temos:
Passo 4
Agora, vamos para a forma simétrica da reta. Nessa forma, eliminamos o parâmetro e relacionamos as coordenadas , e diretamente.
A forma simétrica é:
Substituindo:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a forma reduzida da reta. Essa forma é semelhante à simétrica, mas geralmente escrita de forma mais simplificada, especialmente quando os denominadores possuem coeficientes positivos.
Podemos reescrever a forma simétrica da seguinte maneira: