Determinar as equações nas formas paramétrica, simétrica e reduzida da reta que passa pelo ponto A(1,2,1) e tem direção do vetor v = (4, 5, -1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações da reta que passa pelo ponto e tem direção do vetor . Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar nas formas paramétrica, simétrica e reduzida dessa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta no espaço. Para definir uma reta, geralmente precisamos de um ponto por onde ela passa e um vetor que indica sua direção. No nosso caso, o ponto é e o vetor diretor é .

Passo 3

Vamos começar escrevendo a forma paramétrica da reta. Nessa forma, expressamos as coordenadas , e em função de um parâmetro, geralmente denotado por .
A forma paramétrica é dada por:
Onde é o ponto da reta e são as componentes do vetor diretor.
Substituindo os valores do ponto e do vetor , temos:

Passo 4

Agora, vamos para a forma simétrica da reta. Nessa forma, eliminamos o parâmetro e relacionamos as coordenadas , e diretamente.
A forma simétrica é:
Substituindo:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a forma reduzida da reta. Essa forma é semelhante à simétrica, mas geralmente escrita de forma mais simplificada, especialmente quando os denominadores possuem coeficientes positivos.
Podemos reescrever a forma simétrica da seguinte maneira:
Ou ainda:

Resposta

As equações da reta são:
é
é

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