Calcular a integral integral sin ^2 x cos ^2 x d x

Passo 1

No enunciado, precisamos calcular a integral de sin^2x cos^2x em relação a x. Vamos utilizar conceitos de funções trigonométricas e identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o produto sin^2x cos^2x. Sabemos que podemos usar a identidade dupla do ângulo para facilitar isso. Lembre-se de que:
sin^2x = 1 - cos 2x2 e cos^2x = 1 + cos 2x2

Passo 3

Multiplicando essas duas identidades, temos:
sin^2x cos^2x = (1 - cos 2x2) (1 + cos 2x2) = 1 - cos^22x4

Passo 4

Agora, vamos usar outra identidade trigonométrica para simplificar cos^22x. Sabemos que:
cos^2A = 1 + cos 2A2
Aplicando isso, temos:
1 - cos^22x4 = 1 - (1 + cos 4x2)4 = 1 - 12 - cos 4x24 = 12 - cos 4x24 = 1 - cos 4x8

Passo 5

Agora, a integral original fica:
integral sin^2x cos^2x , dx = integral 1 - cos 4x8 , dx = 18 integral (1 - cos 4x) , dx

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
18 integral 1 , dx - 18 integral cos 4x , dx
A integral de 1 em relação a x é x, e a integral de cos 4x é sin 4x4.

Passo 7

Substituindo as integrais, temos:
18 ( x - sin 4x4 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de sin^2x cos^2x , dx é:
x8 - sin 4x32 + C

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