Nos itens abaixo, determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto indicado: z = 4xy, (4, 1/4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a fórmula do plano tangente. Precisamos entender como calcular as derivadas parciais da função dada e aplicar a fórmula correta para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função da superfície, que é . Para encontrar o plano tangente nesse ponto específico, precisamos das derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Essas derivadas nos dão as inclinações do plano em relação aos eixos e .

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
Esses valores serão os coeficientes das direções e na equação do plano tangente.

Passo 5

A fórmula geral para o plano tangente a uma superfície no ponto é:
Já temos que é no ponto dado. Vamos calcular :

Passo 6

Substituindo todos os valores na fórmula do plano tangente:
Agora, vamos simplificar essa equação.

Passo 7

Distribuindo e reorganizando os termos:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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