Nos itens abaixo, determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto indicado: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a fórmula do plano tangente. Precisamos entender como calcular as derivadas parciais da função dada e aplicar a fórmula correta para encontrar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função da superfície, que é . Para encontrar o plano tangente nesse ponto específico, precisamos das derivadas parciais de em relação a e a .
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Essas derivadas nos dão as inclinações do plano em relação aos eixos e .
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
Esses valores serão os coeficientes das direções e na equação do plano tangente.
Passo 5
A fórmula geral para o plano tangente a uma superfície no ponto é:
Já temos que é no ponto dado. Vamos calcular :
Passo 6
Substituindo todos os valores na fórmula do plano tangente:
Agora, vamos simplificar essa equação.
Passo 7
Distribuindo e reorganizando os termos:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: