Resolva as integrais definidas:
integral0^pi sen^5(x) cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Precisamos entender como simplificar essa integral para encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para facilitar a integração. Olhando para a integral , percebemos que é a derivada de . Isso sugere que podemos usar a substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = sin(x) igual a du = cos(x) , dx :
Agora, calculamos a derivada de em relação a para encontrar :
Isso significa que pode ser substituído por na integral.

Passo 4

Substituindo integral sin^5(x) cos(x) , dx = integral u^5 , du e na integral original, temos:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 5

Vamos resolver a integral integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . A regra básica da integração para potências de integral u^5 , du = u^66 + C é:
Onde é a constante de integração. Aplicando isso aqui:

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original u^66 + C = sin^6(x)6 + C substituindo :

Passo 7

Como estamos lidando com uma integral definida de [ sin^6(x)6 ]0^pi = sin^6(pi)6 - sin^6(0)6 a 0^66 - 0^66 = 0 - 0 = 0 , vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração:
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral é igual a 0.

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