Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
f) , em que T é o sólido limitado por , o plano xy, e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral tripla de sobre a região . A matéria que estamos trabalhando aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para , e com base nas condições dadas: , o plano (que é ) e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é limitada pelo plano ( ) na parte de baixo e pela superfície na parte de cima. Além disso, é limitado pela parábola . Isso significa que para cada valor de , varia de 0 até , e varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para cada variável:
  • : Para encontrar os limites de , observamos onde a parábola intercepta o eixo . Quando , resulta em . Então, varia de a .
  • : Para cada , varia de 0 até .
  • : Para cada , varia de 0 até .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla. A integral fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, nossa integral fica:

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a :
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a . Devido à simetria da função em relação ao eixo , podemos multiplicar a integral de 0 a por 2:
Vamos expandir :
Agora, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
Simplificando:
Agora, substituímos :
Calculando cada termo:
Substituindo:
Simplificando:
Finalmente:

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados

Considere a equação diferencial
em que e a equação característica tem raízes complexas . Substitua pelas funções
na equação diferencial confirmando, assim, que elas são soluções.
®
(a) Mostre que
Calcular , em que T é a região interior ao cilindro e a esfera .