Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
f)
, em que T é o sólido limitado por
, o plano xy, e
.
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral tripla de
sobre a região
. A matéria que estamos trabalhando aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para
,
e
com base nas condições dadas:
, o plano
(que é
) e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela é limitada pelo plano
(
) na parte de baixo e pela superfície
na parte de cima. Além disso,
é limitado pela parábola
. Isso significa que para cada valor de
,
varia de 0 até
, e
varia de 0 até
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para cada variável:
-
: Para encontrar os limites de , observamos onde a parábola intercepta o eixo . Quando , resulta em . Então, varia de a . -
: Para cada , varia de 0 até . -
: Para cada , varia de 0 até .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla. A integral fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
. Devido à simetria da função em relação ao eixo
, podemos multiplicar a integral de 0 a
por 2:
Vamos expandir
:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Simplificando:
Agora, substituímos
:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Simplificando:
Finalmente:
Resposta
A integral tripla vale
.
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial
em que
e a equação característica tem raízes complexas
. Substitua
pelas funções
na equação diferencial confirmando, assim, que elas são soluções.
®
(a) Mostre que
Calcular
, em que T é a região interior ao cilindro
e a esfera
.