Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
f) integral triplaT z d V, em que T é o sólido limitado por z=y, o plano xy, e y=2-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral tripla de sobre a região . A matéria que estamos trabalhando aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para , e com base nas condições dadas: , o plano (que é ) e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é limitada pelo plano ( ) na parte de baixo e pela superfície na parte de cima. Além disso, é limitado pela parábola . Isso significa que para cada valor de , varia de 0 até , e varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para cada variável:
  • : Para encontrar os limites de , observamos onde a parábola intercepta o eixo . Quando , resulta em . Então, varia de a .
  • : Para cada , varia de 0 até .
  • : Para cada , varia de 0 até .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla. A integral fica assim:
integral-raiz2^raiz2 integral0^2 - x^2 integral0^y z , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a integral0^y z , dz = [ z^22 ]0^y = y^22 :
integral-raiz2^raiz2 integral0^2 - x^2 y^22 , dy , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a integral0^2 - x^2 y^22 , dy = 12 [ y^33 ]0^2 - x^2 = (2 - x^2)^36 :
integral-raiz2^raiz2 (2 - x^2)^36 , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a 2 cdot integral0^raiz2 (2 - x^2)^36 , dx = 13 integral0^raiz2 (2 - x^2)^3 , dx . Devido à simetria da função em relação ao eixo (2 - x^2)^3 = 8 - 12x^2 + 6x^4 - x^6 , podemos multiplicar a integral de 0 a 13 integral0^raiz2 (8 - 12x^2 + 6x^4 - x^6) , dx por 2:
Vamos expandir :
Agora, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
13 [ 8x - 12 cdot x^33 + 6 cdot x^55 - x^77 ]0^raiz2
Simplificando:
13 [ 8x - 4x^3 + 6x^55 - x^77 ]0^raiz2
Agora, substituímos 13 [ 8raiz2 - 4(raiz2)^3 + 6(raiz2)^55 - (raiz2)^77 ] :
(raiz2)^3 = 2raiz2, (raiz2)^5 = 4raiz2, (raiz2)^7 = 8raiz2
Calculando cada termo:
13 [ 8raiz2 - 4 cdot 2raiz2 + 6 cdot 4raiz25 - 8raiz27 ] = 13 [ 8raiz2 - 8raiz2 + 24raiz25 - 8raiz27 ]
Substituindo:
13 [ 24raiz25 - 8raiz27 ] = 13 cdot (24 cdot 7 - 8 cdot 5)raiz235 = 13 cdot (168 - 40)raiz235 = 13 cdot 128raiz235
Simplificando:
128raiz2105
Finalmente:

Resposta

A integral tripla vale .

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