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Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender como as funções cotangente se comportam perto de zero e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a cotangente é definida como . Então, podemos reescrever o limite usando essa definição:

Passo 3

Agora, observe que é igual a e é igual a devido às identidades trigonométricas de co-funções. Então, substituindo isso, temos:

Passo 4

Vamos simplificar multiplicando as frações:

Passo 5

Agora, usamos a identidade . Substituindo isso:

Passo 6

Percebemos que pode ser escrito em termos de usando a identidade . Substituindo:

Passo 7

Agora, dividimos cada termo no numerador pelo denominador:

Passo 8

Sabemos que , então quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Substituindo:

Resposta

O limite é .

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Inverter a ordem de integração.
b)
(l)
Considere a equação diferencial
em que e a equação característica tem raízes complexas . Substitua pelas funções
na equação diferencial confirmando, assim, que elas são soluções.
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
f) , em que T é o sólido limitado por , o plano xy, e .