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Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender como as funções cotangente se comportam perto de zero e usar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a cotangente é definida como
. Então, podemos reescrever o limite usando essa definição:
Passo 3
Agora, observe que
é igual a
e
é igual a
devido às identidades trigonométricas de co-funções. Então, substituindo isso, temos:
Passo 4
Vamos simplificar multiplicando as frações:
Passo 5
Agora, usamos a identidade
. Substituindo isso:
Passo 6
Percebemos que
pode ser escrito em termos de
usando a identidade
. Substituindo:
Passo 7
Agora, dividimos cada termo no numerador pelo denominador:
Passo 8
Sabemos que
, então quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1. Substituindo:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Inverter a ordem de integração.
b)
b)
(l)
Considere a equação diferencial
em que
e a equação característica tem raízes complexas
. Substitua
pelas funções
na equação diferencial confirmando, assim, que elas são soluções.
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
f) , em que T é o sólido limitado por
, o plano xy, e
.
f)