® lim x 0 cot 2 x cot (pi2-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender como as funções cotangente se comportam perto de zero e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a cotangente é definida como limx 0 cos 2xsin 2x cdot cos(pi2 - x)sin(pi2 - x) . Então, podemos reescrever o limite usando essa definição:

Passo 3

Agora, observe que limx 0 cos 2xsin 2x cdot sin xcos x é igual a e é igual a devido às identidades trigonométricas de co-funções. Então, substituindo isso, temos:

Passo 4

Vamos simplificar multiplicando as frações:
limx 0 cos 2x cdot sin xsin 2x cdot cos x

Passo 5

Agora, usamos a identidade limx 0 cos 2x cdot sin x2 sin x cos x cdot cos x = limx 0 cos 2x2 cos^2 x . Substituindo isso:

Passo 6

Percebemos que limx 0 2 cos^2 x - 12 cos^2 x pode ser escrito em termos de usando a identidade . Substituindo:

Passo 7

Agora, dividimos cada termo no numerador pelo denominador:
limx 0 ( 2 cos^2 x2 cos^2 x - 12 cos^2 x ) = limx 0 (1 - 12 cos^2 x)

Passo 8

Sabemos que 1 - 12 cdot 1^2 = 1 - 12 = 12 , então quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Substituindo:

Resposta

O limite é .

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