Calcular integral triplaT(x^2+y^2) d V, em que T é a região interior ao cilindro x^2+y^2=1 e a esfera x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaT(x^2+y^2) dV, onde T é a região dentro do cilindro x^2+y^2=1 e da esfera x^2+y^2+z^2=4. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque as equações do cilindro e da esfera ficam mais fáceis de trabalhar nesse sistema. Para isso, precisamos lembrar que em coordenadas cilíndricas:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
  • E o volume elementar é dV = r, dr, dtheta, dz

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Nosso cilindro é x^2+y^2=1, o que em coordenadas cilíndricas é simplesmente r=1. A esfera é x^2+y^2+z^2=4, que se transforma em r^2 + z^2 = 4. Isso nos dá z = pmraiz4 - r^2. Então, para cada valor de r, z varia de -raiz4 - r^2 a raiz4 - r^2.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A função que estamos integrando é x^2+y^2, que em coordenadas cilíndricas é r^2. Então, a integral fica:
integral triplaT r^2 cdot r, dz, dr, dtheta = integral triplaT r^3, dz, dr, dtheta

Passo 4

Vamos definir os limites de integração para cada variável:
  • theta varia de 0 a 2pi (uma volta completa).
  • r varia de 0 a 1 (o raio do cilindro).
  • z varia de -raiz4 - r^2 a raiz4 - r^2 (os limites da esfera para cada r).
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 integral-raiz4 - r^2^raiz4 - r^2 r^3, dz, dr, dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral com respeito a z primeiro. A integral de r^3 em relação a z de -raiz4 - r^2 a raiz4 - r^2 é:
integral-raiz4 - r^2^raiz4 - r^2 r^3, dz = r^3 [ z ]-raiz4 - r^2^raiz4 - r^2 = r^3 (2raiz4 - r^2) = 2r^3raiz4 - r^2

Passo 6

Agora, vamos integrar com respeito a r:
2 integral0^1 r^3raiz4 - r^2, dr
Aqui, vamos usar uma substituição para facilitar a integração. Seja u = 4 - r^2, então du = -2r, dr, ou seja, r, dr = -12 du. Ajustando a integral:
2 integralu=4^u=3 (r^2) (raizu) (-12) du = integral3^4 (4 - u) raizu, du

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
integral3^4 (4 - u) raizu, du = integral3^4 4u^1/2 - u^3/2, du
Integrando termo a termo:
4 cdot 23 u^3/2 - 25 u^5/2 |3^4 = 83 u^3/2 - 25 u^5/2 |3^4
Substituindo os limites:
Para u=4:
83 (4)^3/2 - 25 (4)^5/2 = 83 cdot 8 - 25 cdot 32 = 643 - 645
Para u=3:
83 (3)^3/2 - 25 (3)^5/2 = 83 cdot 3raiz3 - 25 cdot 9raiz3 = 8raiz3 - 185raiz3 = 405raiz3 - 185raiz3 = 225raiz3
Subtraindo:
( 643 - 645 ) - 225raiz3 = 320 - 19215 - 225raiz3 = 12815 - 225raiz3

Passo 8

Agora, voltamos para a integral em theta:
integral0^2pi ( 12815 - 225raiz3 ) dtheta = ( 12815 - 225raiz3 ) cdot 2pi = 25615pi - 445piraiz3

Resposta

O valor da integral tripla é 25615pi - 445piraiz3.

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