Calcular , em que T é a região interior ao cilindro e a esfera .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde T é a região dentro do cilindro e da esfera . Vamos usar coordenadas cilíndricas porque as equações do cilindro e da esfera ficam mais fáceis de trabalhar nesse sistema. Para isso, precisamos lembrar que em coordenadas cilíndricas:
E o volume elementar é
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Nosso cilindro é , o que em coordenadas cilíndricas é simplesmente . A esfera é , que se transforma em . Isso nos dá . Então, para cada valor de , varia de a .
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A função que estamos integrando é , que em coordenadas cilíndricas é . Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração para cada variável:
varia de a (uma volta completa).
varia de a (o raio do cilindro).
varia de a (os limites da esfera para cada ).
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral com respeito a primeiro. A integral de em relação a de a é:
Passo 6
Agora, vamos integrar com respeito a :
Aqui, vamos usar uma substituição para facilitar a integração. Seja , então , ou seja, . Ajustando a integral: