Calcular , em que T é a região interior ao cilindro e a esfera .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde T é a região dentro do cilindro e da esfera . Vamos usar coordenadas cilíndricas porque as equações do cilindro e da esfera ficam mais fáceis de trabalhar nesse sistema. Para isso, precisamos lembrar que em coordenadas cilíndricas:
  • E o volume elementar é

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Nosso cilindro é , o que em coordenadas cilíndricas é simplesmente . A esfera é , que se transforma em . Isso nos dá . Então, para cada valor de , varia de a .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A função que estamos integrando é , que em coordenadas cilíndricas é . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração para cada variável:
  • varia de a (uma volta completa).
  • varia de a (o raio do cilindro).
  • varia de a (os limites da esfera para cada ).
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral com respeito a primeiro. A integral de em relação a de a é:

Passo 6

Agora, vamos integrar com respeito a :
Aqui, vamos usar uma substituição para facilitar a integração. Seja , então , ou seja, . Ajustando a integral:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 8

Agora, voltamos para a integral em :

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

(a) Mostre que
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
f) , em que T é o sólido limitado por , o plano xy, e .
Calcule os limites apresentados abaixo. (2,0 pontos)
Considere e a função dada de forma implicita por: . Calcule usando o teorema da função implicita. Jostifique sua resposta com os cálculos.