Considere a equação diferencial
em que
e a equação característica tem raízes complexas
. Substitua
pelas funções
na equação diferencial confirmando, assim, que elas são soluções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
, onde a parte
é negativa. Isso significa que as raízes da equação característica são complexas, do tipo
. O que precisamos fazer é substituir as funções
e nessa equação para confirmar que elas são, de fato, soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com
. Para substituir na equação diferencial, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
.
Calculando a primeira derivada
:
Agora, a segunda derivada
:
Passo 3
Com as derivadas calculadas, vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Agrupando os termos:
Sabemos que
pela equação característica, então:
Simplificando:
Como
(pela equação característica com raízes complexas), os termos se cancelam, resultando em 0. Portanto,
é uma solução.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo com . Calculando as derivadas:
Primeira derivada
:
Segunda derivada
:
Substituindo na equação diferencial:
Substituindo:
Agrupando os termos:
Novamente, pela equação característica
, temos:
Simplificando:
E como
, os termos se anulam, resultando em 0. Assim,
também é uma solução.
Resposta
As funções
e são soluções da equação diferencial
.
Exercícios relacionados
®
Inverter a ordem de integração.
b)
b)
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
f) , em que T é o sólido limitado por
, o plano xy, e
.
f)
(a) Mostre que