Considere a equação diferencial
a y'' + b y' + c y = 0
em que b^2 - 4ac < 0 e a equação característica tem raízes complexas lambda +- i mu. Substitua y pelas funções
u(t) = e^(lambda t) cos(mu t) e v(t) = e^(lambda t) sen(mu t)
na equação diferencial confirmando, assim, que elas são soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo , onde a parte é negativa. Isso significa que as raízes da equação característica são complexas, do tipo . O que precisamos fazer é substituir as funções e nessa equação para confirmar que elas são, de fato, soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com . Para substituir na equação diferencial, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de .
Calculando a primeira derivada :
Agora, a segunda derivada :

Passo 3

Com as derivadas calculadas, vamos substituir , e na equação diferencial:
Substituindo:
Agrupando os termos:
Sabemos que pela equação característica, então:
Simplificando:
Como (pela equação característica com raízes complexas), os termos se cancelam, resultando em 0. Portanto, é uma solução.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo com . Calculando as derivadas:
Primeira derivada :
Segunda derivada :
Substituindo na equação diferencial:
Substituindo:
Agrupando os termos:
Novamente, pela equação característica , temos:
Simplificando:
E como , os termos se anulam, resultando em 0. Assim, também é uma solução.

Resposta

As funções e são soluções da equação diferencial .

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