(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar duas igualdades envolvendo derivadas de
em relação a
. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente à regra da cadeia para derivadas. Para resolver, vamos precisar usar essa regra tanto para a primeira derivada quanto para a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Sabemos que
depende de
e que
depende de
. Então, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, que é
. Para isso, vamos derivar
em relação a
:
Aqui, precisamos aplicar a regra do produto porque estamos derivando o produto de duas funções:
e
.
Aplicando a regra do produto, temos:
Explicando cada termo:
-
é a segunda derivada de em relação a . -
é o quadrado da primeira derivada de em relação a . -
é a segunda derivada de em relação a .
Resposta
As igualdades mostradas são:
e
Exercícios relacionados
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
f) , em que T é o sólido limitado por
, o plano xy, e
.
f)
Considere a equação diferencial
em que
e a equação característica tem raízes complexas
. Substitua
pelas funções
na equação diferencial confirmando, assim, que elas são soluções.
Calcular
, em que T é a região interior ao cilindro
e a esfera
.
Calcule os limites apresentados abaixo. (2,0 pontos)