(a) Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar duas igualdades envolvendo derivadas de em relação a . Isso está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente à regra da cadeia para derivadas. Para resolver, vamos precisar usar essa regra tanto para a primeira derivada quanto para a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Sabemos que depende de e que depende de . Então, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Aqui, é a derivada de em relação a , e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que é . Para isso, vamos derivar em relação a :
Aqui, precisamos aplicar a regra do produto porque estamos derivando o produto de duas funções: e .
Aplicando a regra do produto, temos:
Explicando cada termo:
  • é a segunda derivada de em relação a .
  • é o quadrado da primeira derivada de em relação a .
  • é a segunda derivada de em relação a .

Resposta

As igualdades mostradas são:
e

Exercícios relacionados

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
f) , em que T é o sólido limitado por , o plano xy, e .
Considere a equação diferencial
em que e a equação característica tem raízes complexas . Substitua pelas funções
na equação diferencial confirmando, assim, que elas são soluções.
Calcular , em que T é a região interior ao cilindro e a esfera .
Calcule os limites apresentados abaixo. (2,0 pontos)