(a) Mostre que
d yd t=d xd t d yd x, d^2 yd t^2=(d xd t)^2 d^2 yd x^2+d^2 xd t^2 d yd x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar duas igualdades envolvendo derivadas de em relação a . Isso está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente à regra da cadeia para derivadas. Para resolver, vamos precisar usar essa regra tanto para a primeira derivada quanto para a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de dydt = dydx cdot dxdt em relação a , que é . Sabemos que depende de e que depende de . Então, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Aqui, é a derivada de em relação a , e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de d^2 ydt^2 = ddt ( dydx cdot dxdt ) em relação a d^2 ydt^2 = d^2 ydx^2 cdot ( dxdt )^2 + dydx cdot d^2 xdt^2 , que é . Para isso, vamos derivar em relação a :
Aqui, precisamos aplicar a regra do produto porque estamos derivando o produto de duas funções: e .
Aplicando a regra do produto, temos:
Explicando cada termo:
  • é a segunda derivada de em relação a .
  • é o quadrado da primeira derivada de em relação a .
  • é a segunda derivada de em relação a .

Resposta

As igualdades mostradas são:
dydt = dxdt cdot dydx
e
d^2 ydt^2 = ( dxdt )^2 cdot d^2 ydx^2 + d^2 xdt^2 cdot dydx

Exercícios relacionados