Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
, em que T é a região delimitada por
e
;
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral tripla
para encontrar o volume da região
delimitada por
,
,
e
. Esse tipo de problema usa cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas, para determinar volumes de regiões no espaço.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa entender como é a região
no plano
. As curvas
e
se intersectam e formam uma área fechada. Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir os limites de integração.
Passo 3
Igualando
e
, substituímos
na segunda equação:
Resolvendo
, temos
, então
ou
. Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, determinamos os limites de integração para
e
. Observando as curvas:
- Para
, varia de a (pois ). - Para cada ponto
, varia de a .
Passo 5
Montamos a integral tripla com os limites encontrados:
Integrando primeiro em
:
A integral fica:
Integrando em
:
Simplificando:
Resposta
O volume da região
é
unidades cúbicas.
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