Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
integral triplaT d V, em que T é a região delimitada por y=x^2, x=y^2, z=2 y e z=-2 y;

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral tripla integral triplaT dV para encontrar o volume da região T delimitada por y = x^2, x = y^2, z = 2y e z = -2y. Esse tipo de problema usa cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas, para determinar volumes de regiões no espaço.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender como é a região T no plano xy. As curvas y = x^2 e x = y^2 se intersectam e formam uma área fechada. Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir os limites de integração.

Passo 3

Igualando y = x^2 e x = y^2, substituímos y na segunda equação:
x = (x^2)^2 Rightarrow x = x^4
Resolvendo x^4 - x = 0, temos x(x^3 - 1) = 0, então x = 0 ou x = 1. Portanto, os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 4

Agora, determinamos os limites de integração para x e y. Observando as curvas:
  • Para 0 <= x <= 1, y varia de x^2 a raizx (pois x = y^2 Rightarrow y = raizx).
  • Para cada ponto (x,y), z varia de -2y a 2y.

Passo 5

Montamos a integral tripla com os limites encontrados:
integral triplaT dV = integral0^1 integralx^2^raizx integral-2y^2y dz, dy, dx
Integrando primeiro em z:
integral-2y^2y dz = 2y - (-2y) = 4y
A integral fica:
integral0^1 integralx^2^raizx 4y, dy, dx
Integrando em y:
4 integral0^1 [ y^22 ]x^2^raizx dx = 4 integral0^1 ( (raizx)^22 - (x^2)^22 ) dx = 4 integral0^1 ( x2 - x^42 ) dx
Simplificando:
2 integral0^1 (x - x^4) dx = 2 [ x^22 - x^55 ]0^1 = 2 ( 12 - 15 ) = 2 ( 5 - 210 ) = 2 ( 310 ) = 610 = 35

Resposta

O volume da região T é 35 unidades cúbicas.

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