Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
a) integral triplaT x y z^2 d V, em que T é o paralelepípedo retângulo [0,1] times[0,2] times[1,3];
b) integral triplaT x d V, em que T é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y2+z=4;
c) integral triplaT x y d V, em que T é a região acima do plano xy delimitada por z=4-x^2, y=0, e y=4;
d) integral triplaT d V, em que T é o hemisfério da frente da esfera x^2+y^2+z^2=4;
e) integral triplaT d V, em que T é a região delimitada por y=x^2, x=y^2, z=2 y e z=-2 y;
f) integral triplaT z d V, em que T é o sólido limitado por z=y, o plano xy , e y=2-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla integral triplaT x y z^2 , dV. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função f(x, y, z) = x y z^2 sobre uma região chamada paralelepípedo retângulo, que é basicamente um bloco com faces retangulares. As extremidades desse paralelepípedo são dadas por x de 0 a 1, y de 0 a 2 e z de 1 a 3. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das integrais múltiplas e integrar passo a passo em cada uma das variáveis.

Passo 2

Vamos começar configurando a integral tripla. Como a região T é um paralelepípedo retângulo, as integrais podem ser separadas facilmente:
integral triplaT x y z^2 , dV = integralx=0^1 integraly=0^2 integralz=1^3 x y z^2 , dz , dy , dx
Aqui, integramos primeiro em relação a z, depois y e finalmente x.

Passo 3

Primeiro, vamos integrar em relação a z. A função a ser integrada é x y z^2. Como x e y são constantes em relação a z, podemos tratar x y como fatores constantes:
integralz=1^3 x y z^2 , dz = x y integral1^3 z^2 , dz
A integral de z^2 em relação a z é z^33, então:
x y [ z^33 ]1^3 = x y ( 3^33 - 1^33 ) = x y ( 273 - 13 ) = x y ( 9 - 13 ) = x y ( 263 )
Então, a integral fica:
integral triplaT x y z^2 , dV = integralx=0^1 integraly=0^2 263 x y , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a y. A função a ser integrada é 263 x y. Podemos tirar a constante 263 x para fora da integral:
263 x integral0^2 y , dy
A integral de y em relação a y é y^22, então:
263 x [ y^22 ]0^2 = 263 x ( 2^22 - 0^22 ) = 263 x ( 42 ) = 263 x cdot 2 = 523 x
Agora, a integral fica:
integral triplaT x y z^2 , dV = integralx=0^1 523 x , dx

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a x. A função a ser integrada é 523 x. Podemos tirar a constante 523 para fora da integral:
523 integral0^1 x , dx
A integral de x em relação a x é x^22, então:
523 [ x^22 ]0^1 = 523 ( 1^22 - 0^22 ) = 523 cdot 12 = 526 = 263

Resposta

A integral tripla integral triplaT x y z^2 , dV sobre o paralelepípedo retângulo [0,1] times [0,2] times [1,3] é igual a 263.

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