Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
a)
, em que T é o paralelepípedo retângulo
;
b)
, em que T é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
;
c)
, em que T é a região acima do plano xy delimitada por
, e
;
d)
, em que T é o hemisfério da frente da esfera
;
e)
, em que T é a região delimitada por
e
;
f)
, em que T é o sólido limitado por
, o plano xy , e
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral tripla
. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função
sobre uma região chamada paralelepípedo retângulo, que é basicamente um bloco com faces retangulares. As extremidades desse paralelepípedo são dadas por
de 0 a 1,
de 0 a 2 e
de 1 a 3. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das integrais múltiplas e integrar passo a passo em cada uma das variáveis.
Passo 2
Vamos começar configurando a integral tripla. Como a região
é um paralelepípedo retângulo, as integrais podem ser separadas facilmente:
Aqui, integramos primeiro em relação a
, depois
e finalmente
.
Passo 3
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A função a ser integrada é
. Como
e
são constantes em relação a
, podemos tratar
como fatores constantes:
A integral de
em relação a
é
, então:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
. A função a ser integrada é
. Podemos tirar a constante
para fora da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Por fim, vamos integrar em relação a
. A função a ser integrada é
. Podemos tirar a constante
para fora da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Resposta
A integral tripla
sobre o paralelepípedo retângulo
é igual a
.