Calcule as integrais duplas onde D é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. integral duplaD(x+y-4) d A, D=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2. (Resp:-5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre um retângulo definido por e . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões retangulares. Para resolver, vamos precisar usar a integração iterada, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a (ou vice-versa).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Como integral duplaD (x + y - 4) , dA = integral0^2 integral0^1 (x + y - 4) , dx , dy é um retângulo, podemos escrever:
Aqui, integramos de 0 a 1 e de 0 a 2.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a integral0^1 (x + y - 4) , dx :
integral0^1 x , dx + integral0^1 y , dx - integral0^1 4 , dx
Para isso, integramos cada termo separadamente:

Passo 4

Calculando cada uma dessas integrais:
  1. 12 + y - 4 = y - 72
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^2 ( y - 72 ) , dy :
integral0^2 y , dy - 72 integral0^2 dy
Novamente, integramos cada termo separadamente:

Passo 6

Calculando cada uma dessas integrais:
  1. 2 - 7 = -5
Então, a integral total fica:

Resposta

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