Calcule as integrais duplas onde
é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo.
. (Resp:-5)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre um retângulo
definido por
e
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões retangulares. Para resolver, vamos precisar usar a integração iterada, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
(ou vice-versa).
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Como
é um retângulo, podemos escrever:
Aqui, integramos
de 0 a 1 e
de 0 a 2.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a
:
Para isso, integramos cada termo separadamente:
Passo 4
Calculando cada uma dessas integrais:
Então, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a
:
Novamente, integramos cada termo separadamente:
Passo 6
Calculando cada uma dessas integrais:
Então, a integral total fica: