Calcule as integrais duplas onde D é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. integral duplaD 2 cos (x) cos (y) d A, D=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= pi, 0 <= y <= pi2. (Resp: 0 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O exercício pede para calcular integral duplaD 2 cos (x) cos (y) , dA, onde a região D é um retângulo definido por 0 <= x <= pi e 0 <= y <= pi2. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais duplas, que serve para encontrar o volume sob uma superfície em uma determinada região. Vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral dupla integral duplaD 2 cos (x) cos (y) , dA indica que vamos integrar a função 2 cos(x) cos(y) sobre a região D. Como D é um retângulo com limites para x de 0 a pi e para y de 0 a pi2, podemos separar a integral em duas integrais simples, uma em relação a x e outra em relação a y.

Passo 3

Vamos reescrever a integral dupla como o produto de duas integrais simples:
integral0^pi 2 cos(x) , dx times integral0^pi2 cos(y) , dy
Isso é possível porque a função que estamos integrando é o produto de funções de x e y separadas.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das integrais simples separadamente. Primeiro, a integral em relação a x:
integral0^pi 2 cos(x) , dx
Sabemos que a integral de cos(x) é sin(x), então:
2 sin(x) |0^pi = 2 [sin(pi) - sin(0)] = 2 [0 - 0] = 0

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a integral em relação a y:
integral0^pi2 cos(y) , dy
A integral de cos(y) é sin(y), então:
sin(y) |0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Passo 6

Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais:
0 times 1 = 0

Resposta

0

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