Calcule as integrais duplas onde é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. . (Resp: 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O exercício pede para calcular , onde a região é um retângulo definido por e . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais duplas, que serve para encontrar o volume sob uma superfície em uma determinada região. Vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral dupla indica que vamos integrar a função sobre a região . Como é um retângulo com limites para de 0 a e para de 0 a , podemos separar a integral em duas integrais simples, uma em relação a e outra em relação a .
Passo 3
Vamos reescrever a integral dupla como o produto de duas integrais simples:
Isso é possível porque a função que estamos integrando é o produto de funções de e separadas.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das integrais simples separadamente. Primeiro, a integral em relação a :
Sabemos que a integral de é , então:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a integral em relação a y:
integral0^pi2 cos(y) , dy
A integral de cos(y) é sin(y), então:
sin(y) |0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
Passo 6
Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais: